Teorema Varignon: Contoh dan Latihan Latihan

Teorema Varignon menyatakan bahwa jika dalam segi empat mana pun, titik tengah sisi-sisinya disambung secara terus-menerus, dihasilkan jajar genjang. Teorema ini dirumuskan oleh Pierre Varignon dan diterbitkan pada 1731 dalam buku Elements of Mathematics . "

Penerbitan buku terjadi bertahun-tahun setelah kematiannya. Karena Varignon adalah orang yang mempresentasikan teorema ini, jajaran genjang dinamai menurut namanya. Teorema ini didasarkan pada geometri Euclidean dan menyajikan hubungan geometris segiempat.

Apa teorema Varignon?

Varignon mengklaim bahwa angka yang didefinisikan oleh titik tengah segiempat akan selalu menghasilkan jajar genjang, dan area ini akan selalu menjadi setengah luas segi empat jika datar dan cembung. Sebagai contoh:

Pada gambar kita dapat melihat segiempat dengan area X, di mana titik tengah sisi diwakili oleh E, F, G dan H dan, ketika mereka bergabung, membentuk jajaran genjang. Area segiempat akan menjadi jumlah dari area segitiga yang terbentuk, dan setengahnya sesuai dengan area jajaran genjang.

Karena luas jajar genjang adalah setengah dari luas segiempat, batas jajaran genjang itu dapat ditentukan.

Dengan demikian, perimeter sama dengan jumlah panjang diagonal segiempat; ini karena median dari segiempat akan menjadi diagonal jajaran genjang.

Di sisi lain, jika panjang diagonal segiempat sama persis, jajar genjang akan menjadi berlian. Sebagai contoh:

Dari gambar itu dapat dilihat bahwa, dengan bergabung dengan titik tengah sisi segi empat, sebuah belah ketupat diperoleh. Di sisi lain, jika diagonal segi empat tegak lurus, jajar genjang akan menjadi persegi panjang.

Juga jajar genjang akan menjadi persegi ketika segiempat memiliki diagonal dengan panjang yang sama dan juga tegak lurus.

Teorema ini tidak hanya terpenuhi dalam segiempat datar, tetapi juga diterapkan dalam geometri spasial atau dalam dimensi besar; yaitu, pada segiempat yang tidak cembung. Contohnya bisa berupa octahedron, di mana titik tengahnya adalah centroid dari setiap wajah dan membentuk paralelepiped.

Dengan cara ini, dengan bergabung dengan titik tengah angka yang berbeda, jajaran genjang dapat diperoleh. Cara sederhana untuk memverifikasi apakah ini benar-benar benar adalah bahwa sisi yang berlawanan harus paralel ketika mereka memanjang.

Contohnya

Contoh pertama

Perpanjangan sisi yang berlawanan untuk menunjukkan bahwa itu adalah jajaran genjang:

Contoh kedua

Dengan bergabung dengan titik tengah berlian kita mendapatkan persegi panjang:

Teorema ini digunakan dalam penyatuan titik-titik yang terletak di tengah sisi segi empat, dan juga dapat digunakan untuk jenis-jenis titik lainnya, seperti dalam tiga bagian, bagian penta, atau bahkan jumlah bagian yang tak terbatas ( (nth), untuk membagi sisi segi empat ke dalam segmen yang proporsional.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Kami memiliki pada gambar ABCD segiempat area Z, di mana titik tengah sisi ini adalah PQSR. Periksa apakah jajar genjang Varignon terbentuk.

Solusi

Dapat diverifikasi bahwa ketika bergabung dengan titik PQSR, sebuah jajar genjang Varignon terbentuk, justru karena dalam pernyataan itu titik tengah segi empat diberikan.

Untuk menunjukkan ini, titik tengah PQSR bersatu, sehingga dapat dilihat bahwa segiempat lainnya terbentuk. Untuk menunjukkan bahwa itu adalah jajar genjang, kita hanya perlu menggambar garis lurus dari titik C ke titik A, sehingga kita dapat melihat bahwa CA sejajar dengan PQ dan RS.

Demikian pula, dengan memperluas sisi PQRS dapat dicatat bahwa PQ dan RS adalah paralel, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Latihan 2

Ini memiliki persegi panjang sehingga panjang semua sisinya sama. Ketika bergabung dengan titik tengah sisi-sisi ini, sebuah ABCD belah ketupat terbentuk, yang dibagi oleh dua diagonal AC = 7cm dan BD = 10cm, yang bertepatan dengan pengukuran sisi-sisi persegi panjang. Tentukan area berlian dan persegi panjang.

Solusi

Mengingat bahwa area jajar genjang yang dihasilkan adalah setengah dari segi empat, Anda dapat menentukan area ini dengan mengetahui bahwa ukuran diagonal bertepatan dengan sisi-sisi persegi panjang. Jadi, Anda harus:

AB = D

CD = d

_{Persegi panjang} = (AB _* CD) = (10 cm _* 7 cm) = 70 cm2

A _diamond = A _rectangle / 2

_{Belah ketupat} = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Latihan 3

Kami memiliki angka segi empat yang memiliki penyatuan poin EFGH, panjang segmen yang diberikan. Tentukan apakah pengikatan EFGH adalah jajar genjang.

AB = 2, 4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

FC = 3, 94 HA = 2.77

Solusi

Mengingat panjangnya segmen, dimungkinkan untuk memverifikasi apakah ada proporsionalitas antar segmen; yaitu, kita bisa tahu apakah ini paralel, menghubungkan segmen segi empat dengan cara berikut:

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3, 94 / 2, 88 = 1, 37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

Kemudian proporsionalitas diperiksa, karena:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Demikian pula, ketika merencanakan garis dari titik B ke titik D, kita dapat melihat bahwa EH sejajar dengan BD, sama seperti BD sejajar dengan FG. Di sisi lain, EF sejajar dengan GH.

Dengan cara ini dapat ditentukan bahwa EFGH adalah jajar genjang, karena sisi-sisi yang berlawanan adalah paralel.