Logika matematika: asal, studi apa, tipe

Logika matematika atau logika simbolik adalah bahasa matematika yang mencakup alat yang diperlukan yang dengannya penalaran matematis dapat ditegaskan atau ditolak.

Diketahui bahwa dalam matematika tidak ada ambiguitas. Diberikan argumen matematis, ini valid atau tidak. Itu tidak bisa salah dan benar pada saat bersamaan.

Aspek khusus matematika adalah bahwa ia memiliki bahasa formal dan keras yang melaluinya validitas penalaran dapat ditentukan. Apa yang membuat alasan tertentu atau bukti matematika tidak terbantahkan? Itulah logika matematika itu.

Dengan demikian, logika adalah disiplin matematika yang bertanggung jawab untuk mempelajari penalaran dan demonstrasi matematika, dan menyediakan alat untuk dapat menyimpulkan kesimpulan yang benar dari pernyataan atau proposisi sebelumnya.

Untuk melakukan ini, ia menggunakan aksioma dan aspek matematika lainnya yang akan dikembangkan nanti.

Asal dan sejarah

Tanggal pasti sehubungan dengan banyak aspek logika matematika tidak pasti. Namun, sebagian besar bibliografi tentang masalah ini melacak asal usul ini hingga Yunani kuno.

Aristoteles

Awal dari perlakuan keras terhadap logika dikaitkan, sebagian, dengan Aristoteles, yang menulis serangkaian karya logika, yang kemudian dikumpulkan dan dikembangkan oleh para filsuf dan ilmuwan yang berbeda, hingga Abad Pertengahan. Ini bisa dianggap sebagai "logika lama".

Kemudian, dalam apa yang dikenal sebagai Zaman Kontemporer, Leibniz, tergerak oleh keinginan mendalam untuk membangun bahasa universal untuk bernalar secara matematis, dan matematikawan lain seperti Gottlob Frege dan Giuseppe Peano, sangat memengaruhi perkembangan logika matematika dengan kontribusi besar, di antara mereka, Aksioma Peano, yang merumuskan sifat-sifat yang tak tergantikan dari bilangan alami.

Matematikawan George Boole dan Georg Cantor juga sangat berpengaruh pada saat ini, dengan kontribusi penting dalam teori himpunan dan tabel kebenaran, menyoroti, di antara aspek-aspek lain, Aljabar Boolean (oleh George Boole) dan Aksioma Pilihan (oleh George Cantor)

Ada juga Augustus De Morgan dengan hukum Morgan yang terkenal, yang merenungkan penolakan, konjungsi, disjungsi dan bersyarat di antara proposisi, kunci untuk pengembangan Logika Simbolik, dan John Venn dengan diagram Venn yang terkenal.

Pada abad kedua puluh, kira-kira antara tahun 1910 dan 1913, sorot Bertrand Russell dan Alfred North Whitehead dengan publikasi Principia Mathematica, satu set buku yang mengumpulkan, mengembangkan dan mendalilkan serangkaian aksioma dan hasil logika.

Apa studi logika matematika?

Proposisi

Logika matematika dimulai dengan studi proposisi. Proposisi adalah penegasan bahwa tanpa ambiguitas dapat dikatakan apakah itu benar atau tidak. Berikut ini adalah contoh-contoh proposisi:

2 + 4 = 6.
52 = 35.
Pada tahun 1930 terjadi gempa bumi di Eropa.

Yang pertama adalah proposisi yang benar dan yang kedua adalah proposisi yang salah. Yang ketiga, walaupun mungkin orang yang membacanya tidak tahu apakah itu benar atau langsung, itu adalah pernyataan yang dapat diverifikasi dan ditentukan apakah itu benar-benar terjadi atau tidak.

Berikut ini adalah contoh ekspresi yang bukan proposisi:

Dia berambut pirang.
2x = 6
Ayo bermain!
Apakah kamu suka film?

Dalam dalil pertama, tidak ditentukan siapa "dia", oleh karena itu tidak ada yang bisa ditegaskan. Dalam proposisi kedua, apa yang diwakili oleh "x" belum ditentukan. Jika sebaliknya dikatakan bahwa 2x = 6 untuk beberapa bilangan asli x, dalam hal ini akan sesuai dengan proposisi, pada kenyataannya benar, karena untuk x = 3 terpenuhi.

Dua pernyataan terakhir tidak sesuai dengan proposisi, karena tidak ada cara untuk menyangkal atau menegaskannya.

Dua atau lebih proposisi dapat digabungkan (atau dihubungkan) menggunakan penghubung (atau penghubung) yang dikenal. Ini adalah:

Penyangkalan: "Tidak hujan."
Disjungsi: "Luisa membeli tas putih atau abu-abu".
Konjungsi: "42 = 16 dan 2 × 5 = 10".
Bersyarat: "Jika hujan, maka saya tidak pergi ke gym sore ini."
Biconditional: "Saya pergi ke gym sore ini jika, dan hanya jika, tidak hujan".

Proposisi yang tidak memiliki hubungan sebelumnya, disebut proposisi sederhana (atau atom). Misalnya, "2 kurang dari 4", adalah proposisi sederhana. Proposisi yang memiliki beberapa ikat disebut proposisi majemuk, seperti misalnya "1 + 3 = 4 dan 4 adalah bilangan genap".

Pernyataan yang dibuat dengan proposisi biasanya panjang, sehingga membosankan untuk selalu menuliskannya seperti yang telah kita lihat sejauh ini. Karena alasan ini, bahasa simbolik digunakan. Proposisi biasanya diwakili oleh huruf besar seperti P, Q, R, S, dll. Dan ikat simbolis sebagai berikut:

Jadi itu

Kebalikan dari proposisi bersyarat

adalah proposisi

Dan alat kontrasepsi (atau alat kontrasepsi) proposisi

adalah proposisi

Tabel kebenaran

Konsep penting lain dalam logika adalah bahwa tabel kebenaran. Nilai kebenaran suatu proposisi adalah dua kemungkinan yang kita miliki untuk sebuah proposisi: benar (yang akan dilambangkan dengan V dan kita akan mengatakan bahwa nilai kebenarannya adalah V) atau salah (yang akan dilambangkan dengan F dan akan dikatakan bahwa nilainya itu benar-benar F).

Nilai kebenaran dari proposisi majemuk tergantung secara eksklusif pada nilai-nilai kebenaran dari proposisi sederhana yang muncul di dalamnya.

Untuk bekerja secara lebih umum, kami tidak akan mempertimbangkan proposisi spesifik, tetapi variabel proposisi p, q, r, s, dll., Yang akan mewakili proposisi apa pun.

Dengan variabel-variabel ini dan penghubung logis, formula proposisional yang terkenal dibentuk hanya ketika proposisi majemuk dibangun.

Jika masing-masing variabel yang muncul dalam formula proposisi digantikan oleh proposisi, proposisi komposit diperoleh.

Di bawah ini adalah tabel kebenaran untuk penghubung logis:

Ada rumus proposisional yang hanya menerima nilai V di tabel kebenarannya, yaitu, kolom terakhir dari tabel kebenarannya hanya memiliki nilai V. Rumus jenis ini dikenal sebagai tautologi. Sebagai contoh:

Berikut ini adalah tabel kebenaran rumus

Dikatakan bahwa rumus α secara logis menyiratkan rumus lain β, jika α benar setiap kali β benar. Yaitu, dalam tabel kebenaran α dan β, baris di mana α memiliki V, β juga memiliki V. Hanya baris di mana α memiliki nilai V yang menarik. Notasi untuk implikasi logis adalah sebagai berikut :

Tabel berikut merangkum properti dari implikasi logis:

Dikatakan bahwa dua formula proposisional secara logis setara jika tabel kebenarannya identik. Notasi berikut digunakan untuk mengekspresikan kesetaraan logis:

Tabel berikut ini merangkum properti dari kesetaraan logis:

Jenis-jenis logika matematika

Ada berbagai jenis logika, terutama jika seseorang memperhitungkan logika pragmatis atau informal yang menunjuk pada filsafat, di antara bidang-bidang lain.

Sejauh menyangkut matematika, jenis-jenis logika dapat diringkas sebagai berikut:

Logika formal atau Aristotelian (logika kuno).
Logika proposisional: bertanggung jawab untuk mempelajari segala sesuatu yang berkaitan dengan validitas argumen dan proposisi menggunakan bahasa formal dan juga simbolis.
Logika simbolik: berfokus pada studi set dan sifat-sifatnya, juga dengan bahasa formal dan simbolik, dan sangat terkait dengan logika proposisional.
Logika kombinatorial: salah satu yang paling baru dikembangkan, melibatkan hasil yang dapat dikembangkan oleh algoritma.
Pemrograman logis: digunakan dalam berbagai paket dan bahasa pemrograman.

Area

Di antara bidang-bidang yang menggunakan logika matematika dalam cara yang sangat diperlukan dalam pengembangan penalaran dan argumen mereka, mereka menekankan filsafat, teori himpunan, teori bilangan, matematika aljabar konstruktif dan bahasa pemrograman.