Matematika Terpisah: Apa Yang Mereka Layani, Teori Set

Matematika diskrit sesuai dengan bidang matematika yang bertanggung jawab untuk mempelajari himpunan bilangan asli; yaitu, himpunan angka yang terbatas dan tak terhingga di mana elemen-elemen dapat dihitung secara terpisah, satu per satu.

Set ini dikenal sebagai set diskrit; Contoh dari himpunan ini adalah bilangan bulat, grafik atau ekspresi logis, dan mereka diterapkan di berbagai bidang ilmu pengetahuan, terutama dalam komputasi atau komputasi.

Deskripsi

Dalam proses matematika diskrit dapat dihitung, berdasarkan bilangan bulat. Ini berarti bahwa angka desimal tidak digunakan dan, oleh karena itu, perkiraan atau batas tidak digunakan, seperti di daerah lain. Misalnya, satu yang tidak dikenal bisa sama dengan 5 atau 6, tetapi tidak pernah 4, 99 atau 5, 9.

Di sisi lain, dalam representasi grafik variabel akan diskrit dan diberikan dari himpunan titik yang terbatas, yang dihitung satu per satu, seperti yang terlihat pada gambar:

Matematika diskrit dilahirkan oleh kebutuhan untuk memperoleh studi yang tepat yang dapat digabungkan dan diuji, untuk menerapkannya di berbagai bidang.

Apa gunanya matematika diskrit?

Matematika diskrit digunakan di banyak bidang. Di antara yang utama adalah sebagai berikut:

Kombinatorial

Pelajari himpunan terbatas di mana elemen dapat dipesan atau digabungkan dan dihitung.

Teori distribusi diskrit

Pelajari peristiwa yang terjadi dalam ruang di mana sampel dapat dihitung, di mana distribusi kontinu digunakan untuk memperkirakan distribusi diskrit, atau dengan cara yang berlawanan.

Teori informasi

Ini mengacu pada pengkodean informasi, digunakan untuk desain dan transmisi dan penyimpanan data, seperti misalnya sinyal analog.

ITU

Melalui masalah matematika diskrit diselesaikan dengan menggunakan algoritma, serta mempelajari apa yang dapat dihitung dan waktu yang diperlukan untuk melakukannya (kompleksitas).

Pentingnya matematika diskrit di bidang ini telah meningkat dalam beberapa dekade terakhir, terutama untuk pengembangan bahasa pemrograman dan perangkat lunak .

Kriptografi

Ini didasarkan pada matematika diskrit untuk membuat struktur keamanan atau metode enkripsi. Contoh aplikasi ini adalah kata sandi, yang mengirimkan bit secara terpisah yang berisi informasi.

Melalui penelitian, properti bilangan bulat dan bilangan prima (teori bilangan) dapat membuat atau menghancurkan metode keamanan ini.

Logika

Struktur diskrit digunakan, yang biasanya membentuk himpunan terbatas, untuk membuktikan teorema atau, misalnya, memverifikasi perangkat lunak.

Teori grafik

Ini memungkinkan resolusi masalah logis, menggunakan node dan garis yang membentuk jenis grafik, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Ini adalah area yang terkait erat dengan matematika diskrit karena ekspresi aljabar adalah diskrit. Melalui ini, sirkuit elektronik, prosesor, pemrograman (aljabar Boolean) dan database (aljabar relasional) dikembangkan.

Geometri

Pelajari sifat-sifat kombinatorial benda-benda geometris, seperti pelapis bidang. Di sisi lain, geometri komputasi memungkinkan untuk mengembangkan masalah geometrik dengan menerapkan algoritma.

Teori himpunan

Dalam set matematika diskrit (jumlah terbatas dan tak terbatas) adalah tujuan utama studi. Teori himpunan diterbitkan oleh George Cantor, yang menunjukkan bahwa semua himpunan tak terbatas memiliki ukuran yang sama.

Satu set adalah pengelompokan elemen (angka, benda, hewan dan manusia, antara lain) yang didefinisikan dengan baik; yaitu, ada hubungan yang menurutnya setiap elemen merupakan bagian dari suatu himpunan, dan diekspresikan, misalnya, kepada ∈ A.

Dalam matematika ada set yang berbeda yang mengelompokkan angka-angka tertentu sesuai dengan karakteristik mereka. Jadi, misalnya, Anda memiliki:

- Set bilangan asli N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞}.

- Set bilangan bulat E = {-∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞}.

- Subset dari bilangan rasional Q * = {-∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞}.

- Set bilangan real R = {-∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞}.

Set diberi nama dengan huruf-huruf alfabet, dengan huruf besar; sedangkan elemen diberi nama dalam huruf kecil, kawat gigi bagian dalam ({}) dan dipisahkan dengan koma (, ). Mereka biasanya direpresentasikan dalam diagram seperti Venn dan Caroll, serta komputasi.

Dengan operasi dasar seperti penyatuan, persimpangan, komplemen, perbedaan dan produk Cartesius, set dan elemen-elemennya dikelola, berdasarkan pada relasi kepemilikan.

Ada beberapa jenis set, yang paling banyak dipelajari dalam matematika diskrit adalah sebagai berikut:

Set yang terbatas

Ini adalah salah satu yang memiliki jumlah elemen hingga dan yang sesuai dengan bilangan alami. Jadi, misalnya, A = {1, 2, 3, 4} adalah himpunan terbatas yang memiliki 4 elemen.

Kumpulan akuntansi yang tak terbatas

Ini adalah di mana ada korespondensi antara unsur-unsur himpunan dan bilangan asli; artinya, bahwa dari suatu elemen, semua elemen dari suatu himpunan dapat didaftar secara berurutan.

Dengan cara ini, setiap elemen akan sesuai dengan masing-masing elemen dari himpunan bilangan alami. Sebagai contoh:

Himpunan bilangan bulat Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...} dapat dicantumkan sebagai Z = {0, 1, -1, 2, -2 ...}. Dengan cara ini dimungkinkan untuk membuat korespondensi satu-ke-satu antara elemen Z dan bilangan asli, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Ini adalah metode yang digunakan untuk memecahkan masalah kontinu (model dan persamaan) yang harus dikonversi menjadi masalah diskrit, di mana solusinya dikenal dengan perkiraan solusi dari masalah kontinu.

Terlihat dengan cara lain, diskritisasi mencoba mengekstraksi kuantitas terbatas dari sekumpulan poin tak terbatas; dengan cara ini, unit kontinu ditransformasikan menjadi unit individu.

Secara umum metode ini digunakan dalam analisis numerik, seperti misalnya dalam solusi persamaan diferensial, dengan menggunakan fungsi yang direpresentasikan oleh jumlah data hingga dalam domainnya, bahkan ketika kontinu.

Contoh diskritisasi lainnya adalah penggunaannya untuk mengubah sinyal analog menjadi digital, ketika unit sinyal kontinu dikonversi menjadi unit individu (mereka didiskritisasi), dan kemudian dikodekan dan dikuantisasi untuk mendapatkan sinyal digital.