Prinsip Multiplikasi: Teknik Menghitung dan Contoh
Prinsip multiplikatif adalah teknik yang digunakan untuk memecahkan masalah penghitungan untuk menemukan solusi tanpa perlu mendaftarkan elemen-elemennya. Ia juga dikenal sebagai prinsip dasar analisis kombinatorial; ini didasarkan pada perkalian berturut-turut untuk menentukan cara di mana suatu peristiwa dapat terjadi.
Prinsip ini menyatakan bahwa, jika suatu keputusan (d 1 ) dapat diambil dengan cara n dan keputusan lain (d 2 ) dapat diambil dengan cara m, jumlah total cara pengambilan keputusan d 1 dan d 2 akan sama untuk mengalikan dari n * m. Menurut prinsipnya, setiap keputusan dibuat satu demi satu: jumlah cara = N 1 * N 2 ... * N x cara.
Contohnya
Contoh 1
Paula berencana untuk pergi ke bioskop bersama teman-temannya, dan untuk memilih pakaian yang akan ia kenakan, saya memisahkan 3 blus dan 2 rok. Berapa banyak cara berpakaian Paula?
Solusi
Dalam hal ini, Paula harus membuat dua keputusan:
d 1 = Pilih antara 3 blus = n
d 2 = Pilih antara 2 rok = m
Dengan cara itu Paula mengambil keputusan untuk membuat atau cara berpakaian yang berbeda.
n * m = 3 * 2 = 6 keputusan.
Prinsip multiplikasi berasal dari teknik diagram pohon, yang merupakan diagram yang menghubungkan semua hasil yang mungkin, sehingga masing-masing dapat terjadi beberapa kali.
Contoh 2
Mario sangat haus, jadi dia pergi ke toko roti untuk membeli jus. Luis menjawabnya dan mengatakan kepadanya bahwa ia memiliki dua ukuran: besar dan kecil; dan empat rasa: apel, jeruk, lemon, dan anggur. Berapa banyak cara yang bisa dilakukan Mario memilih jus?
Solusi
Dalam diagram dapat dilihat bahwa Mario memiliki 8 cara berbeda untuk memilih jus dan bahwa, seperti dalam prinsip multiplikasi, hasil ini diperoleh dengan perkalian n * m. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa melalui diagram ini Anda dapat mengetahui bagaimana cara Mario memilih jus.
Di sisi lain, ketika jumlah hasil yang mungkin sangat besar, lebih praktis untuk menggunakan prinsip multiplikasi.
Teknik menghitung
Teknik penghitungan adalah metode yang digunakan untuk membuat penghitungan langsung, dan dengan demikian mengetahui jumlah pengaturan yang mungkin dimiliki unsur-unsur himpunan tertentu. Teknik-teknik ini didasarkan pada beberapa prinsip:
Prinsip penambahan
Prinsip ini menyatakan bahwa, jika dua peristiwa m dan n tidak dapat terjadi pada waktu yang sama, jumlah cara terjadinya peristiwa pertama atau kedua akan menjadi jumlah dari m + n:
Jumlah formulir = m + n ... + x formulir yang berbeda.
Contoh
Antonio ingin melakukan perjalanan tetapi tidak memutuskan ke tujuan mana; di South Tourism Agency mereka menawarkan promosi untuk bepergian ke New York atau Las Vegas, sedangkan East Tourism Agency merekomendasikan Anda bepergian ke Prancis, Italia, atau Spanyol. Berapa banyak alternatif perjalanan yang ditawarkan Antonio kepada Anda?
Solusi
Dengan South Tourism Agency Antonio memiliki 2 alternatif (New York atau Las Vegas), sedangkan dengan East Tourism Agency memiliki 3 pilihan (Prancis, Italia atau Spanyol). Jumlah alternatif yang berbeda adalah:
Jumlah alternatif = m + n = 2 + 3 = 5 alternatif.
Prinsip permutasi
Ini adalah tentang memesan secara khusus semua atau beberapa elemen yang membentuk satu set, untuk memfasilitasi penghitungan semua pengaturan yang mungkin dapat dilakukan dengan elemen-elemen tersebut.
Jumlah permutasi dari n elemen yang berbeda, diambil sekaligus, direpresentasikan sebagai:
n P n = n!
Contoh
Empat teman ingin mengambil gambar dan ingin tahu berapa banyak bentuk yang berbeda dapat dipesan.
Solusi
Anda ingin mengetahui set semua cara yang memungkinkan di mana 4 orang dapat ditempatkan untuk mengambil gambar. Jadi, Anda harus:
4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 bentuk yang berbeda.
Jika jumlah permutasi dari n elemen yang tersedia diambil oleh bagian dari himpunan yang dibentuk oleh r elemen, itu direpresentasikan sebagai:
n P r = n! ÷ (n - r)!
Contoh
Di ruang kelas ada 10 posisi. Jika 4 siswa menghadiri kelas, dalam berapa banyak cara yang berbeda dapat siswa menempati posisi?
Solusi
Jumlah total himpunan kursi adalah 10, dan hanya 4 yang akan digunakan. Rumus yang diberikan diterapkan untuk menentukan jumlah permutasi:
n P r = n! ÷ (n - r)!
10 P 4 = 10! ÷ (10 - 4)!
10 P 4 = 10! ÷ 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 cara untuk mengisi posisi.
Ada kasus-kasus di mana beberapa elemen yang tersedia dari himpunan diulang (mereka adalah sama). Untuk menghitung jumlah pengaturan yang mengambil semua elemen sekaligus, rumus berikut digunakan:
n P r = n! 1 n 1 ! * n 2 ! ... n r !
Contoh
Berapa banyak kata berbeda dari empat huruf yang dapat dibentuk dari kata "serigala"?
Solusi
Dalam hal ini kita memiliki 4 elemen (huruf) yang dua di antaranya persis sama. Menerapkan rumus yang diberikan, kita tahu berapa banyak kata yang berbeda:
n P r = n! 1 n 1 ! * n 2 ! ... n r !
4 P 2, 1, 1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!
4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 kata yang berbeda.
Prinsip kombinasi
Ini tentang memperbaiki semua atau beberapa elemen yang membentuk satu set tanpa urutan tertentu. Misalnya, jika Anda memiliki array XYZ, array itu akan identik dengan array ZXY, YZX, ZYX, antara lain; Ini karena, meskipun tidak berada dalam urutan yang sama, unsur-unsur dari setiap pengaturan adalah sama.
Ketika beberapa elemen (r) dari himpunan (n) diambil, prinsip kombinasi diberikan oleh rumus berikut:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
Contoh
Di toko mereka menjual 5 jenis cokelat yang berbeda. Berapa banyak cara berbeda yang dapat Anda pilih 4 cokelat?
Solusi
Dalam hal ini Anda harus memilih 4 cokelat dari 5 jenis yang dijual di toko. Urutan di mana mereka dipilih tidak masalah dan, di samping itu, jenis cokelat dapat dipilih lebih dari dua kali. Menerapkan formula, Anda harus:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
5 C 4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!
5 C 4 = 5! ÷ (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 cara berbeda untuk memilih 4 cokelat.
Ketika semua elemen (r) dari himpunan (n) diambil, prinsip kombinasi diberikan oleh rumus berikut:
n C n = n!
Latihan yang diselesaikan
Latihan 1
Anda memiliki tim bisbol dengan 14 anggota. Dalam berapa banyak cara 5 posisi dapat ditetapkan untuk suatu game?
Solusi
Set ini terdiri dari 14 elemen dan Anda ingin menetapkan 5 posisi tertentu; yaitu, perintah itu penting. Rumus permutasi diterapkan di mana n elemen yang tersedia diambil oleh bagian dari himpunan yang dibentuk oleh r.
n P r = n! ÷ (n - r)!
Di mana n = 14 dan r = 5. Ini diganti dalam rumus:
14 P 5 = 14! ÷ (14 - 5)!
14 P 5 = 14! ÷ (9)!
14 P 5 = 240 240 cara untuk menetapkan 9 posisi permainan.
Latihan 2
Jika 9 anggota keluarga melakukan perjalanan dan membeli tiket mereka dengan kursi berturut-turut, berapa banyak cara yang bisa mereka lakukan?
Solusi
Ini terdiri dari 9 elemen yang akan menempati 9 kursi secara berurutan.
P 9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 cara duduk yang berbeda.
