Interpolasi Linier: Metode, Latihan yang Dipecahkan
Interpolasi linier adalah metode yang berasal dari interpolasi umum Newton dan memungkinkan untuk menentukan dengan perkiraan nilai yang tidak diketahui yaitu antara dua angka yang diberikan; yaitu, ada nilai menengah. Ini juga diterapkan pada fungsi perkiraan, di mana nilai f (a) dan f (b) diketahui dan kami ingin mengetahui intermediate dari f (x) .
Ada berbagai jenis interpolasi, seperti linier, kuadrat, kubik, dan tingkat yang lebih tinggi, yang paling sederhana adalah pendekatan linier. Harga yang harus dibayar dengan interpolasi linier adalah bahwa hasilnya tidak akan seakurat dengan perkiraan oleh fungsi derajat yang lebih tinggi.
Definisi
Interpolasi linier adalah proses yang memungkinkan Anda menyimpulkan nilai antara dua nilai yang terdefinisi dengan baik, yang dapat berupa tabel atau grafik linear.
Misalnya, jika Anda tahu bahwa 3 liter susu bernilai $ 4 dan bahwa 5 liter bernilai $ 7, tetapi Anda ingin tahu berapa nilai susu 4 liter, interpolasi untuk menentukan nilai menengah itu.
Metode
Untuk memperkirakan nilai menengah dari suatu fungsi, fungsi f (x) didekati oleh garis r (x), yang berarti bahwa fungsi tersebut bervariasi secara linear dengan "x" untuk peregangan "x = a" dan "x = b »; yaitu, untuk nilai "x" dalam interval (x 0, x 1 ) y (y 0, y 1 ), nilai "y" diberikan oleh garis di antara titik-titik dan dinyatakan oleh relasi berikut:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Agar interpolasi menjadi linier, perlu bahwa polinom interpolasi memiliki derajat satu (n = 1), sehingga menyesuaikan dengan nilai x 0 dan x 1.
Interpolasi linier didasarkan pada kesamaan segitiga, sedemikian rupa sehingga, yang diturunkan secara geometris dari ekspresi sebelumnya, kita dapat memperoleh nilai «y», yang mewakili nilai yang tidak diketahui untuk «x».
Dengan begitu Anda harus:
a = tan Ɵ = (sisi berlawanan 1 side sisi berdekatan 1 ) = (sisi berlawanan 2 side sisi berdekatan 2 )
Dinyatakan dengan cara lain, yaitu:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Dengan menghapus "dan" dari ekspresi, Anda memiliki:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Dengan demikian, kami memperoleh persamaan umum untuk interpolasi linier:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Secara umum, interpolasi linier memberikan kesalahan kecil atas nilai sebenarnya dari fungsi sebenarnya, meskipun kesalahan minimal dibandingkan jika Anda secara intuitif memilih angka yang dekat dengan yang ingin Anda temukan.
Kesalahan ini terjadi ketika Anda mencoba memperkirakan nilai kurva dengan garis lurus; untuk kasus ini ukuran interval harus dikurangi untuk membuat pendekatan lebih tepat.
Untuk hasil yang lebih baik sehubungan dengan pendekatan tersebut, disarankan untuk menggunakan fungsi grade 2, 3 atau bahkan yang lebih tinggi untuk melakukan interpolasi. Untuk kasus-kasus ini teorema Taylor adalah alat yang sangat berguna.
Latihan yang diselesaikan
Latihan 1
Jumlah bakteri per satuan volume yang ada dalam inkubasi setelah x jam disajikan dalam tabel berikut. Anda ingin tahu berapa volume bakteri untuk waktu 3, 5 jam.
Solusi
Tabel referensi tidak menetapkan nilai yang menunjukkan jumlah bakteri untuk waktu 3, 5 jam tetapi memiliki nilai yang lebih tinggi dan lebih rendah sesuai dengan waktu masing-masing 3 dan 4 jam. Dengan cara itu:
x 0 = 3 dan 0 = 91
x = 3, 5 y =?
x 1 = 4 dan 1 = 135
Sekarang, persamaan matematika diterapkan untuk menemukan nilai interpolasi, yaitu sebagai berikut:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )].
Kemudian nilai yang sesuai diganti:
y = 91 + (135 - 91) * [(3, 5 - 3) ÷ (4 - 3)]
y = 91 + (44) * [(0, 5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0, 5
y = 113
Dengan demikian diperoleh bahwa untuk waktu 3, 5 jam, jumlah bakteri adalah 113, yang mewakili tingkat menengah antara volume bakteri yang ada pada waktu 3 dan 4 jam.
Latihan 2
Luis memiliki pabrik es krim, dan dia ingin melakukan penelitian untuk menentukan pendapatan yang dia dapatkan di bulan Agustus dari pengeluaran yang dikeluarkan. Manajer perusahaan membuat grafik yang menyatakan hubungan itu, tetapi Luis ingin tahu:
Berapa penghasilan untuk Agustus, jika pengeluaran $ 55.000 dibuat?
Solusi
Grafik diberikan dengan nilai-nilai pendapatan dan pengeluaran. Luis ingin tahu apa penghasilan Agustus jika pabrik itu mengeluarkan biaya $ 55.000. Nilai ini tidak tercermin secara langsung dalam grafik, tetapi nilai yang lebih tinggi dan lebih rendah dari ini tersedia.
Pertama-tama dibuat tabel tempat untuk menghubungkan nilai-nilai dengan mudah:
Sekarang, rumus interpolasi digunakan untuk menentukan nilai y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Kemudian nilai yang sesuai diganti:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) * [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0, 588)
y = 56.000 + 12.936
y = $ 68.936.
Jika biaya $ 55.000 dibuat pada bulan Agustus, penghasilannya adalah $ 68.936.
