Teknik penghitungan: teknik utama, aplikasi dan contoh

Teknik penghitungan adalah serangkaian metode probabilitas untuk menghitung kemungkinan jumlah pengaturan dalam satu set atau beberapa set objek. Ini digunakan ketika membuat akun secara manual menjadi rumit karena banyaknya objek dan / atau variabel.

Misalnya, solusi untuk masalah ini sangat sederhana: bayangkan bos Anda meminta Anda untuk menghitung produk terakhir yang telah tiba dalam satu jam terakhir. Dalam hal ini Anda bisa pergi dan menghitung produk satu per satu.

Namun, bayangkan masalahnya adalah ini: bos Anda meminta Anda untuk menghitung berapa kelompok dari 5 produk dari jenis yang sama dapat dibentuk dengan mereka yang telah tiba satu jam terakhir. Dalam hal ini, perhitungannya menjadi rumit. Teknik penghitungan yang disebut digunakan untuk jenis situasi ini.

Teknik-teknik ini ada beberapa, tetapi yang paling penting dibagi menjadi dua prinsip dasar, yaitu multiplikatif dan aditif; permutasi dan kombinasi.

Prinsip multiplikasi

Aplikasi

Prinsip multiplikatif, bersama dengan aditif, adalah dasar untuk memahami operasi teknik penghitungan. Dalam kasus multiplikatif, itu terdiri dari yang berikut:

Bayangkan suatu kegiatan yang melibatkan sejumlah langkah tertentu (total ditandai sebagai "r"), di mana langkah pertama dapat dibuat dari bentuk N1, langkah kedua N2, dan langkah "r" dari bentuk Nr. Dalam hal ini, aktivitas dapat dilakukan dari jumlah formulir yang dihasilkan dari operasi ini: N1 x N2 x .......... x formulir Nr

Itulah sebabnya prinsip ini disebut multiplikatif, dan menyiratkan bahwa masing-masing dan setiap langkah yang diperlukan untuk melaksanakan kegiatan harus dilakukan satu demi satu.

Contoh

Mari kita bayangkan seseorang yang ingin membangun sekolah. Untuk melakukan ini, pertimbangkan bahwa dasar bangunan dapat dibangun dengan dua cara berbeda, semen atau beton. Adapun dinding, mereka dapat dibuat dari batako, semen atau batu bata.

Sedangkan untuk atap, bisa dibuat dari semen atau lembaran galvanis. Akhirnya, lukisan terakhir hanya bisa dilakukan dengan satu cara. Pertanyaan yang muncul adalah sebagai berikut: Berapa banyak cara yang harus dibangun sekolah?

Pertama, kami mempertimbangkan jumlah langkah, yang akan menjadi dasar, dinding, atap dan lukisan. Secara total, 4 langkah, jadi r = 4.

Berikut ini adalah daftar N:

N1 = cara untuk membangun basis = 2

N2 = cara membangun tembok = 3

N3 = cara membuat atap = 2

N4 = cara membuat cat = 1

Oleh karena itu, jumlah formulir yang mungkin akan dihitung dengan rumus yang dijelaskan di atas:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 cara untuk sekolah.

Prinsip aditif

Aplikasi

Prinsip ini sangat sederhana, dan terdiri dari kenyataan bahwa, dalam hal ada beberapa alternatif untuk melakukan kegiatan yang sama, bentuk-bentuk yang mungkin terdiri dari jumlah dari berbagai cara yang mungkin untuk mewujudkan semua alternatif.

Dengan kata lain, jika kita ingin melakukan suatu kegiatan dengan tiga alternatif, di mana alternatif pertama dapat dilakukan dalam bentuk M, yang kedua dalam bentuk N dan yang terakhir dalam bentuk W, aktivitas dapat dibuat dari: M + N + ......... + Bentuk W.

Contoh

Bayangkan saat ini seseorang yang ingin membeli raket tenis. Untuk ini, ada tiga merek untuk dipilih: Wilson, Babolat atau Head.

Ketika dia pergi ke toko dia melihat bahwa raket Wilson dapat dibeli dengan pegangan dari dua ukuran yang berbeda, L2 atau L3 dalam empat model yang berbeda dan dapat digantung atau tanpa tali.

Raket Babolat, di sisi lain, memiliki tiga pegangan (L1, L2 dan L3), ada dua model yang berbeda dan dapat juga digantung atau tanpa tali.

Raket Kepala, di sisi lain, hanya dengan satu pegangan, L2, dalam dua model yang berbeda dan hanya tanpa merangkai. Pertanyaannya adalah: Berapa banyak cara orang ini harus membeli raketnya?

M = Jumlah cara untuk memilih raket Wilson

N = Jumlah cara untuk memilih raket Babolat

W = Jumlah cara untuk memilih raket kepala

Kami membuat prinsip pengganda:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formulir

N = 3 x 2 x 2 = 12 formulir

W = 1 x 2 x 1 = 2 formulir

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 cara untuk memilih raket.

Untuk mengetahui kapan harus menggunakan prinsip multiplikatif dan aditif, Anda hanya perlu melihat apakah aktivitas memiliki serangkaian langkah yang harus dilakukan, dan jika ada beberapa alternatif, aditif.

Permutasi

Aplikasi

Untuk memahami apakah permutasi itu, penting untuk menjelaskan apa kombinasi itu untuk membedakannya dan tahu kapan menggunakannya.

Kombinasi akan menjadi susunan elemen di mana kita tidak tertarik pada posisi yang masing-masing ditempati.

Permutasi, di sisi lain, akan menjadi susunan elemen di mana kita tertarik pada posisi yang masing-masing ditempati.

Mari kita beri contoh untuk lebih memahami perbedaannya.

Contoh

Bayangkan sebuah kelas dengan 35 siswa, dan dengan situasi berikut:

  1. Guru ingin tiga muridnya membantunya menjaga kelas tetap bersih atau mengirimkan materi kepada siswa lain ketika dia membutuhkannya.
  2. Guru ingin menunjuk delegasi kelas (presiden, asisten, dan pemodal).

Solusinya adalah sebagai berikut:

  1. Bayangkan bahwa dengan memilih Juan, María dan Lucía dipilih untuk membersihkan kelas atau mengirimkan materi. Jelas, kelompok tiga orang lainnya bisa saja terbentuk, di antara 35 siswa yang mungkin.

Kita harus bertanya kepada diri kita sendiri berikut ini: apakah penting urutan atau posisi yang diduduki masing-masing siswa pada saat memilih mereka?

Jika kita memikirkannya, kita melihat bahwa itu benar-benar tidak penting, karena kelompok akan menangani kedua tugas secara sama. Dalam hal ini, ini adalah kombinasi, karena kami tidak tertarik pada posisi elemen.

  1. Sekarang bayangkan John dipilih sebagai presiden, Maria sebagai asisten, dan Lucia sebagai keuangan.

Dalam hal ini, apakah pesanan itu penting? Jawabannya adalah ya, karena jika kita mengubah elemen, hasilnya berubah. Artinya, jika alih-alih menempatkan Juan sebagai presiden, kami menempatkannya sebagai asisten, dan Maria sebagai presiden, hasil akhirnya akan berubah. Dalam hal ini adalah permutasi.

Setelah perbedaan dipahami, kita akan mendapatkan formula permutasi dan kombinasi. Namun, pertama-tama kita harus mendefinisikan istilah "n!" (Faktorial), karena akan digunakan dalam formula yang berbeda.

n! = produk dari 1 hingga n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... ..x n

Menggunakannya dengan bilangan real:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 5 = 120

Rumus permutasi adalah sebagai berikut:

nPr = n! / (nr)!

Dengan itu kita bisa mengetahui pengaturan di mana urutan itu penting, dan di mana n elemen berbeda.

Kombinasi

Aplikasi

Seperti yang telah kita komentari sebelumnya, kombinasi adalah pengaturan di mana kita tidak peduli dengan posisi elemen.

Formulanya adalah sebagai berikut:

nCr = n! / (nr)! r!

Contoh

Jika ada 14 siswa yang ingin menjadi sukarelawan membersihkan ruang kelas, berapa banyak kelompok pembersih yang masing-masing kelompok dapat dibentuk oleh 5 orang?

Solusinya, oleh karena itu, akan menjadi sebagai berikut:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grup