Teorema Bolzano: Penjelasan, Aplikasi, dan Latihan yang Dipecahkan

Teorema Bolzano menyatakan bahwa jika suatu fungsi kontinu pada semua titik dari interval tertutup [a, b] dan dipastikan bahwa gambar "a" dan "b" (di bawah fungsi) memiliki tanda-tanda yang berlawanan, maka ia akan ada untuk setidaknya satu titik «c» dalam interval terbuka (a, b), sehingga fungsi yang dievaluasi dalam «c» akan sama dengan 0.

Teorema ini diucapkan oleh filsuf, teolog dan matematikawan Bernard Bolzano pada tahun 1850. Ilmuwan ini, yang lahir di Republik Ceko masa kini, adalah salah satu ahli matematika pertama dalam sejarah yang membuat demonstrasi formal mengenai sifat-sifat fungsi kontinu.

Penjelasan

Teorema Bolzano juga dikenal sebagai teorema nilai-menengah, yang membantu dalam penentuan nilai-nilai spesifik, khususnya nol, fungsi-fungsi nyata tertentu dari variabel nyata.

Dalam fungsi tertentu f (x) melanjutkan -yaitu, bahwa f (a) dan f (b) dihubungkan oleh kurva-, di mana f (a) berada di bawah sumbu x (negatif), dan f (b) adalah di atas sumbu x (positif), atau sebaliknya, secara grafis akan ada titik potong pada sumbu x yang akan mewakili nilai perantara «c», yang akan berada di antara «a» dan «b», dan nilai f (c) akan sama dengan 0

Dengan menganalisis teorema Bolzano secara grafik, kita dapat mengetahui bahwa untuk setiap fungsi f kontinu didefinisikan dalam interval [a, b], di mana f (a) _* f (b) kurang dari 0, akan ada setidaknya satu akar «c »Dari fungsi itu dalam interval (a, b).

Teorema ini tidak menetapkan jumlah titik yang ada dalam interval terbuka, hanya menyatakan bahwa setidaknya ada 1 titik.

Demonstrasi

Untuk membuktikan teorema Bolzano, diasumsikan tanpa kehilangan sifat umum bahwa f (a) 0; dengan cara itu, mungkin ada banyak nilai antara «a» dan «b» yang f (x) = 0, tetapi hanya satu yang perlu ditunjukkan.

Mulailah dengan mengevaluasi f pada titik tengah (a + b) / 2. Jika f ((a + b) / 2) = 0 maka tes berakhir di sini; jika tidak, maka f ((a + b) / 2) positif atau negatif.

Salah satu bagian dari interval [a, b] dipilih, sehingga tanda-tanda fungsi yang dievaluasi pada ujungnya berbeda. Interval baru ini adalah [a1, b1].

Sekarang, jika f dievaluasi pada titik tengah [a1, b1] bukan nol, maka operasi yang sama seperti sebelumnya dilakukan; yaitu, setengah dari interval ini yang memenuhi kondisi tanda-tanda dipilih. Biarkan interval baru ini menjadi [a2, b2].

Jika proses ini dilanjutkan, maka dua suksesi {an} dan {bn} akan diambil, sehingga:

{an} meningkat dan {bn} menurun:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Jika Anda menghitung panjang setiap interval [ai, bi], Anda harus:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

...

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Oleh karena itu, batas ketika n cenderung tak hingga (bn-an) sama dengan 0.

Menggunakan {an} meningkat dan dibatasi dan {bn} menurun dan dibatasi, ada nilai "c" sehingga:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Batas an adalah "c" dan batas {bn} juga "c". Oleh karena itu, mengingat δ> 0, selalu ada "n" sehingga interval [a, bn] terkandung dalam interval (c-δ, c + δ).

Sekarang, harus ditunjukkan bahwa f (c) = 0.

Jika f (c)> 0, maka karena f adalah kontinu, terdapat ε> 0 sehingga f positif sepanjang interval (c-ε, c + ε). Namun, seperti yang dinyatakan di atas, ada nilai "n" sehingga f berubah masuk [a, bn] dan, selain itu, [an, bn] terkandung dalam (c-ε, c + ε), yang merupakan kontradiksi.

Jika f (c) 0 sedemikian rupa sehingga f negatif sepanjang interval (c-ε, c + ε); tetapi ada nilai "n" sehingga f berubah masuk [an, bn]. Ternyata [an, bn] terkandung dalam (c-ε, c + ε), yang juga merupakan kontradiksi.

Karenanya, f (c) = 0 dan inilah yang ingin kami tunjukkan.

Untuk apa ini?

Dari interpretasi grafisnya, teorema Bolzano digunakan untuk menemukan akar atau nol dalam fungsi kontinu, melalui pembelahan dua (aproksimasi), yang merupakan metode pencarian tambahan yang selalu membagi interval menjadi 2.

Kemudian ambil interval [a, c] atau [c, b] di mana perubahan tanda terjadi, dan ulangi prosesnya hingga interval lebih kecil dan lebih kecil, sehingga Anda dapat mendekati nilai yang Anda inginkan; yaitu, nilai yang dihasilkan fungsi 0.

Singkatnya, untuk menerapkan teorema Bolzano dan dengan demikian menemukan akar, membatasi nol fungsi atau memberikan solusi untuk persamaan, langkah-langkah berikut dilakukan:

- Periksa apakah f adalah fungsi kontinu dalam interval [a, b].

- Jika interval tidak diberikan, harus ditemukan di mana fungsi ini kontinu.

- Periksa apakah ekstrem interval memberikan tanda yang berlawanan ketika dievaluasi dalam f.

- Jika tanda-tanda yang berlawanan tidak diperoleh, interval harus dibagi menjadi dua sub-konservatif menggunakan titik tengah.

- Evaluasi fungsi di titik tengah dan verifikasi bahwa hipotesis Bolzano terpenuhi, di mana f (a) _* f (b) <0.

- Bergantung pada tanda (positif atau negatif) dari nilai yang ditemukan, proses diulangi dengan subinterval baru sampai hipotesis yang disebutkan di atas terpenuhi.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Tentukan apakah fungsi f (x) = x2 - 2, memiliki setidaknya satu solusi nyata dalam interval [1, 2].

Solusi

Kami memiliki fungsi f (x) = x2 - 2. Karena polinomial, itu berarti kontinu dalam interval apa pun.

Anda diminta untuk menentukan apakah Anda memiliki solusi nyata dalam interval [1, 2], jadi sekarang Anda hanya perlu mengganti ekstrem dari interval dalam fungsi untuk mengetahui tanda ini dan mengetahui apakah mereka memenuhi syarat menjadi berbeda:

f (x) = x2 - 2

f (1) = 12 - 2 = -1 (negatif)

f (2) = 22 - 2 = 2 (positif)

Oleh karena itu, tanda f (1) ≠ tanda f (2).

Ini memastikan bahwa setidaknya ada satu titik "c" yang termasuk dalam interval [1, 2], di mana f (c) = 0.

Dalam hal ini, nilai "c" dapat dengan mudah dihitung sebagai berikut:

x2 - 2 = 0

x = ± √2.

Jadi, √2 ≈ 1.4 termasuk dalam interval [1, 2] dan memenuhi bahwa f (√2) = 0.

Latihan 2

Tunjukkan bahwa persamaan x5 + x + 1 = 0 memiliki setidaknya satu solusi nyata.

Solusi

Catatan pertama bahwa f (x) = x5 + x + 1 adalah fungsi polinomial, yang berarti kontinu dalam semua bilangan real.

Dalam hal ini, tidak ada interval yang diberikan, sehingga nilai harus dipilih secara intuitif, lebih disukai mendekati 0, untuk mengevaluasi fungsi dan menemukan tanda yang berubah:

Jika Anda menggunakan interval [0, 1] Anda harus:

f (x) = x5 + x + 1.

f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.

Karena tidak ada perubahan tanda, proses diulangi dengan interval lain.

Jika Anda menggunakan interval [-1, 0] Anda harus:

f (x) = x5 + x + 1.

f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.

Dalam interval ini ada perubahan tanda: tanda f (-1) ≠ tanda f (0), yang berarti bahwa fungsi f (x) = x5 + x + 1 memiliki setidaknya satu akar nyata «c» di interval [-1, 0], sehingga f (c) = 0. Dengan kata lain, memang benar bahwa x5 + x + 1 = 0 memiliki solusi nyata dalam interval [-1, 0].