Teorema Chebyshov: Dalam Apa Itu Terdiri, Aplikasi dan Contoh

Teorema Chebyshov (atau ketidaksetaraan Chebyshov ) adalah salah satu hasil klasik paling penting dari teori probabilitas. Ini memungkinkan memperkirakan probabilitas suatu peristiwa yang dijelaskan dalam variabel acak X, dengan memberi kita dimensi yang tidak tergantung pada distribusi variabel acak tetapi pada varian X.

Teorema ini dinamai untuk menghormati matematikawan Rusia Pafnuty Chebyshov (juga ditulis sebagai Chebychev atau Tchebycheff) yang, meskipun bukan yang pertama mengungkapkan teorema ini, adalah yang pertama memberikan demonstrasi pada tahun 1867.

Ketidaksetaraan ini, atau yang dengan karakteristiknya disebut ketimpangan Chebyshov, digunakan terutama untuk memperkirakan probabilitas dengan cara perhitungan dimensi.

Terdiri dari apa itu?

Dalam studi teori probabilitas, terjadi bahwa jika kita mengetahui fungsi distribusi variabel acak X, kita dapat menghitung nilai yang diharapkan - atau ekspektasi matematis E (X) - dan variansnya Var (X), selama Jumlah tersebut ada. Namun, timbal balik belum tentu benar.

Artinya, mengetahui E (X) dan Var (X) itu tidak selalu mungkin untuk mendapatkan fungsi distribusi X, sehingga jumlah seperti P (| X |> k) untuk beberapa k> 0 sangat sulit diperoleh. Namun berkat ketidaksetaraan Chebyshov, dimungkinkan untuk memperkirakan probabilitas variabel acak.

Teorema Chebyshov memberi tahu kita bahwa jika kita memiliki variabel acak X pada ruang sampel S dengan fungsi probabilitas p, dan jika k> 0, maka:

Aplikasi dan contoh

Di antara banyak aplikasi yang dimiliki teorema Chebyshov, berikut ini dapat disebutkan:

Batas probabilitas

Ini adalah aplikasi yang paling umum dan digunakan untuk memberikan batas atas untuk P (| XE (X) | ≥k) di mana k> 0, hanya dengan varian dan harapan dari variabel acak X, tanpa mengetahui fungsi probabilitas .

Contoh 1

Misalkan jumlah produk yang diproduksi di perusahaan selama seminggu adalah variabel acak dengan rata-rata 50.

Jika kita tahu bahwa varians produksi seminggu sama dengan 25, maka apa yang bisa kita katakan tentang probabilitas bahwa minggu ini produksi akan berbeda lebih dari 10 dari rata-rata?

Solusi

Menerapkan ketidaksetaraan Chebyshov kita harus:

Dari sini kita dapat memperoleh bahwa probabilitas bahwa dalam minggu produksi jumlah artikel melebihi lebih dari 10 dengan rata-rata paling banyak 1/4.

Demonstrasi teorema batas

Ketidaksetaraan Chebyshov memainkan peran penting dalam demonstrasi teorema batas paling penting. Sebagai contoh, kami memiliki yang berikut ini:

Hukum lemah dalam jumlah besar

Hukum ini menetapkan bahwa diberi urutan X1, X2, ..., Xn, ... variabel acak independen dengan distribusi rata-rata yang sama E (Xi) = μ dan varians Var (X) = σ2, dan sampel rata-rata yang diketahui:

Maka untuk k> 0 Anda harus:

Atau, yang setara:

Demonstrasi

Pertama mari kita perhatikan hal berikut:

Karena X1, X2, ..., Xn bersifat independen, maka sebagai berikut:

Karena itu, dimungkinkan untuk menegaskan hal-hal berikut:

Kemudian, menggunakan teorema Chebyshov, kita harus:

Akhirnya, teorema hasil dari fakta bahwa batas ke kanan adalah nol ketika n cenderung tak terhingga.

Perlu dicatat bahwa tes ini dilakukan hanya untuk kasus di mana varian Xi ada; itu tidak menyimpang. Jadi kita mengamati bahwa teorema itu selalu benar jika E (Xi) ada.

Teorema batas Chebyshov

Jika X1, X2, ..., Xn, ... adalah suksesi variabel acak independen sehingga ada beberapa C0:

Demonstrasi

Karena suksesi varian dibatasi secara seragam, kita memiliki Var (Sn) ≤ C / n, untuk semua n alami. Tapi kita tahu itu:

Dengan membuat n cenderung ke arah tak hingga, hasil berikut:

Karena probabilitas tidak dapat melebihi nilai 1, hasil yang diinginkan diperoleh. Sebagai konsekuensi dari teorema ini kita dapat menyebutkan kasus khusus Bernoulli.

Jika percobaan diulangi n kali secara independen dengan dua hasil yang mungkin (kegagalan dan keberhasilan), di mana p adalah probabilitas keberhasilan dalam setiap percobaan dan X adalah variabel acak yang mewakili jumlah keberhasilan yang diperoleh, maka untuk setiap k> 0 Anda harus:

Ukuran sampel

Dalam hal varians, ketidaksetaraan Chebyshov memungkinkan kita untuk menemukan ukuran sampel n yang cukup untuk menjamin bahwa probabilitas bahwa | Sn-μ |> k terjadi sekecil yang diinginkan, yang memungkinkan kita untuk memiliki perkiraan untuk rata-rata.

Tepatnya, misalkan X1, X2, ... Xn menjadi sampel variabel acak independen ukuran n dan biarkan E (Xi) = μ dan variansnya σ2. Kemudian, karena ketidaksetaraan Chebyshov, kita harus:

Contoh

Misalkan X1, X2, ... Xn adalah sampel variabel acak independen dengan distribusi Bernoulli, sehingga mereka mengambil nilai 1 dengan probabilitas p = 0, 5.

Berapa ukuran sampel untuk dapat menjamin bahwa probabilitas bahwa perbedaan antara rata-rata aritmatik Sn dan nilai yang diharapkan (yang melebihi lebih dari 0, 1), kurang dari atau sama dengan 0, 1?

Solusi

Kami memiliki E (X) = μ = p = 0, 5 dan bahwa Var (X) = σ2 = p (1-p) = 0, 25. Untuk ketimpangan Chebyshov, untuk setiap k> 0 kita harus:

Sekarang, dengan mengambil k = 0, 1 dan δ = 0, 01, kita harus:

Dengan cara ini disimpulkan bahwa ukuran sampel setidaknya 2500 diperlukan untuk memastikan bahwa probabilitas kejadian | Sn - 0, 5 |> = 0, 1 kurang dari 0, 01.

Ketidaksetaraan jenis Chebyshov

Ada berbagai ketidaksetaraan yang terkait dengan ketidaksetaraan Chebyshov. Salah satu yang paling terkenal adalah ketimpangan Markov:

Dalam ungkapan ini X adalah variabel acak non-negatif dengan k, r> 0.

Ketidaksetaraan Markov dapat mengambil bentuk yang berbeda. Misalnya, misalkan Y menjadi variabel acak non negatif (jadi P (Y> = 0) = 1) dan anggaplah bahwa E (Y) = μ ada. Misalkan juga bahwa (E (Y)) r = μ _r ada untuk beberapa bilangan bulat r> 1. Lalu: