Distribusi Probabilitas Terpisah: Karakteristik dan Latihan

Distribusi probabilitas diskrit adalah fungsi yang memberikan masing-masing elemen X (S) = {x1, x2, ..., xi, ...}, di mana X adalah variabel acak diskrit tertentu dan S adalah ruang sampelnya, probabilitas bahwa kata peristiwa terjadi. Fungsi ini dari X (S) didefinisikan sebagai f (xi) = P (X = xi) kadang-kadang disebut fungsi massa probabilitas.

Massa probabilitas ini biasanya direpresentasikan sebagai sebuah tabel. Karena X adalah variabel acak diskrit, X (S) memiliki sejumlah peristiwa hingga atau tak terhingga yang dapat dihitung. Di antara distribusi probabilitas diskrit yang paling umum, kami memiliki distribusi seragam, distribusi binomial, dan distribusi Poisson.

Fitur

Fungsi distribusi probabilitas harus memenuhi ketentuan berikut:

Lebih lanjut, jika X hanya mengambil sejumlah nilai terbatas (misalnya x1, x2, ..., xn), maka p (xi) = 0 jika i> ny, oleh karena itu, deret tak terbatas dari kondisi b menjadi seri terbatas.

Fungsi ini juga memenuhi properti berikut:

Biarkan B menjadi peristiwa yang terkait dengan variabel acak X. Ini berarti bahwa B terkandung dalam X (S). Secara khusus, anggaplah bahwa B = {xi1, xi2, ...}. Oleh karena itu:

Dengan kata lain, probabilitas kejadian B sama dengan jumlah probabilitas hasil individu yang terkait dengan B.

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa jika a <b, peristiwa (X ≤ a) dan (a <X ≤ b) saling eksklusif dan, di samping itu, persatuan mereka adalah peristiwa (X ≤ b), jadi kita memiliki:

Jenis

Distribusi seragam lebih dari n poin

Dikatakan bahwa variabel acak X mengikuti distribusi yang ditandai dengan menjadi seragam dalam n poin jika setiap nilai diberikan probabilitas yang sama. Fungsi massa probabilitasnya adalah:

Misalkan kita memiliki eksperimen yang memiliki dua hasil yang mungkin, itu bisa berupa pelemparan koin yang kemungkinan hasilnya adalah wajah atau cap, atau pilihan seluruh bilangan yang hasilnya bisa berupa bilangan genap atau bilangan ganjil; Jenis percobaan ini dikenal sebagai tes Bernoulli.

Secara umum, dua hasil yang mungkin disebut keberhasilan dan kegagalan, di mana p adalah probabilitas keberhasilan dan 1-p dari kegagalan. Kami dapat menentukan probabilitas x keberhasilan dalam tes Bernoulli yang independen satu sama lain dengan distribusi berikut.

Distribusi binomial

Ini adalah fungsi yang mewakili probabilitas memperoleh x keberhasilan dalam n tes Bernoulli independen, yang probabilitas keberhasilannya adalah p. Fungsi massa probabilitasnya adalah:

Grafik berikut ini menunjukkan fungsi massa probabilitas untuk nilai yang berbeda dari parameter distribusi binomial.

Distribusi berikut berutang namanya kepada ahli matematika Prancis Simeon Poisson (1781-1840), yang memperolehnya sebagai batas distribusi binomial.

Distribusi poisson

Dikatakan bahwa variabel acak X memiliki distribusi Poisson parameter λ ketika dapat mengambil nilai integer positif 0, 1, 2, 3, ... dengan probabilitas berikut:

Dalam ungkapan ini λ adalah angka rata-rata yang sesuai dengan kejadian peristiwa untuk setiap unit waktu, dan x adalah berapa kali peristiwa itu terjadi.

Fungsi massa probabilitasnya adalah:

Selanjutnya, grafik yang mewakili fungsi massa probabilitas untuk nilai yang berbeda dari parameter distribusi Poisson.

Perhatikan bahwa, selama jumlah keberhasilan rendah dan jumlah n tes yang dilakukan dalam distribusi binomial tinggi, kami selalu dapat memperkirakan distribusi ini, karena distribusi Poisson adalah batas distribusi binomial.

Perbedaan utama antara kedua distribusi ini adalah bahwa, sementara binomial tergantung pada dua parameter-yaitu, n dan p-Poisson hanya bergantung pada λ, yang kadang-kadang disebut intensitas distribusi.

Sejauh ini kami hanya berbicara tentang distribusi probabilitas untuk kasus-kasus di mana eksperimen yang berbeda saling independen; yaitu, ketika hasil dari satu tidak terpengaruh oleh beberapa hasil lainnya.

Ketika kasus memiliki eksperimen yang tidak independen terjadi, distribusi hipergeometrik sangat berguna.

Distribusi hypergeometric

Misalkan N adalah jumlah total objek dari himpunan berhingga, yang kita dapat mengidentifikasikannya dengan beberapa cara, sehingga membentuk subset K, yang komplemennya dibentuk oleh elemen Nk yang tersisa.

Jika kita secara acak memilih n objek, variabel acak X yang mewakili jumlah objek milik K dalam pemilihan itu memiliki distribusi hypergeometrik dari parameter N, n, dan k. Fungsi massa probabilitasnya adalah:

Grafik berikut ini menunjukkan fungsi massa probabilitas untuk nilai yang berbeda dari parameter distribusi hypergeometric.

Latihan yang diselesaikan

Latihan pertama

Misalkan probabilitas bahwa tabung radio (dimasukkan ke dalam jenis peralatan tertentu) bekerja selama lebih dari 500 jam adalah 0, 2. Jika 20 tabung diuji, berapakah probabilitas bahwa k ini akan bekerja lebih dari 500 jam, k = 0, 1.2, ..., 20?

Solusi

Jika X adalah jumlah tabung yang bekerja lebih dari 500 jam, kami akan menganggap bahwa X memiliki distribusi binomial. Lalu

Jadi:

Untuk k≥11, probabilitasnya kurang dari 0, 001

Jadi kita bisa melihat bagaimana probabilitas bahwa k ini bekerja lebih dari 500 jam naik, hingga mencapai nilai maksimumnya (dengan k = 4) dan kemudian mulai berkurang.

Latihan kedua

Koin dilemparkan 6 kali. Ketika hasilnya mahal, kita akan mengatakan bahwa itu sukses. Berapa probabilitas dua wajah keluar dengan tepat?

Solusi

Untuk kasus ini kita memiliki n = 6 dan probabilitas keberhasilan dan kegagalan adalah p = q = 1/2

Oleh karena itu, probabilitas dua wajah diberikan (yaitu k = 2) adalah

Latihan ketiga

Berapa probabilitas menemukan setidaknya empat wajah?

Solusi

Untuk kasus ini kita memiliki k = 4, 5 atau 6

Latihan ketiga

Misalkan 2% dari artikel yang diproduksi di pabrik rusak. Temukan probabilitas P bahwa ada tiga item yang rusak dalam sampel 100 item.

Solusi

Untuk kasus ini kita bisa menerapkan distribusi binomial untuk n = 100 dan p = 0, 02, memperoleh hasilnya:

Namun, karena p kecil, kami menggunakan pendekatan Poisson dengan λ = np = 2. Jadi,