Penalaran Aljabar (dengan Latihan yang Diselesaikan)
Alasan aljabar pada dasarnya terdiri dalam mengkomunikasikan argumen matematika melalui bahasa khusus, yang membuatnya lebih keras dan umum, memanfaatkan variabel aljabar dan operasi yang didefinisikan di antara mereka sendiri. Karakteristik matematika adalah ketelitian logis dan kecenderungan abstrak yang digunakan dalam argumennya.
Untuk ini perlu mengetahui "tata bahasa" yang benar yang harus digunakan dalam penulisan ini. Selain itu, penalaran aljabar menghindari ambiguitas dalam pembenaran argumen matematis, yang penting untuk menunjukkan hasil dalam matematika.
Variabel aljabar
Variabel aljabar hanyalah variabel (huruf atau simbol) yang mewakili objek matematika tertentu.
Misalnya, huruf x, y, z biasanya digunakan untuk mewakili angka yang memenuhi persamaan yang diberikan; huruf p, qr, untuk mewakili formula proposisional (atau huruf kapital masing-masing untuk mewakili proposisi tertentu); dan huruf A, B, X, dll., untuk mewakili set.
Istilah "variabel" menekankan bahwa objek yang dimaksud tidak tetap, tetapi bervariasi. Seperti halnya persamaan, di mana variabel digunakan untuk menentukan solusi yang pada prinsipnya tidak diketahui.
Secara umum, variabel aljabar dapat dianggap sebagai huruf yang mewakili beberapa objek, apakah itu tetap atau tidak.
Sama seperti variabel aljabar yang digunakan untuk mewakili objek matematika, kita juga dapat mempertimbangkan simbol untuk mewakili operasi matematika.
Misalnya, simbol "+" mewakili operasi "jumlah". Contoh lain adalah notasi simbolis yang berbeda dari ikat logis dalam kasus proposisi dan set.
Ekspresi aljabar
Ekspresi aljabar adalah kombinasi dari variabel aljabar dengan operasi yang didefinisikan sebelumnya. Contohnya adalah operasi dasar penjumlahan, pengurangan, penggandaan dan pembagian antar angka, atau penghubung logis dalam proposisi dan set.
Penalaran aljabar bertanggung jawab untuk mengungkapkan alasan atau argumen matematis melalui ekspresi aljabar.
Bentuk ungkapan ini membantu menyederhanakan dan menyingkat tulisan, karena menggunakan notasi simbolis dan memungkinkan kita untuk lebih memahami alasan, menyajikannya dengan cara yang lebih jelas dan lebih tepat.
Contohnya
Mari kita lihat beberapa contoh yang menunjukkan bagaimana penalaran aljabar digunakan. Sangat teratur digunakan untuk memecahkan masalah logika dan penalaran, seperti yang akan kita lihat sebentar lagi.
Pertimbangkan proposisi matematika yang terkenal "jumlah dari dua angka adalah komutatif". Mari kita lihat bagaimana kita dapat mengekspresikan proposisi ini secara aljabar: mengingat dua angka "a" dan "b", yang berarti proposisi ini adalah bahwa a + b = b + a.
Penalaran yang digunakan untuk menafsirkan proposisi awal dan mengekspresikannya dalam istilah aljabar adalah penalaran aljabar.
Kita juga bisa menyebutkan ungkapan terkenal "urutan faktor tidak mengubah produk", yang merujuk pada fakta bahwa produk dua angka juga komutatif, dan secara aljabar dinyatakan sebagai axb = bxa.
Secara analogi, sifat asosiatif dan distribusi untuk jumlah dan produk dapat diekspresikan (dan bahkan diungkapkan) secara aljabar, di mana pengurangan dan pembagian dimasukkan.
Jenis penalaran ini mencakup bahasa yang sangat luas dan digunakan dalam berbagai konteks. Bergantung pada setiap kasus, dalam konteks ini kita harus mengenali pola, menafsirkan pernyataan, dan menggeneralisasi ekspresi mereka dalam istilah aljabar, memberikan alasan yang valid dan berurutan.
Latihan yang diselesaikan
Berikut ini adalah beberapa masalah logika, yang akan kami pecahkan menggunakan penalaran aljabar:
Latihan pertama
Berapa angka yang, dengan menghapus setengah, sama dengan satu?
Solusi
Untuk menyelesaikan jenis latihan ini, sangat berguna untuk merepresentasikan nilai yang ingin kita tentukan melalui variabel. Dalam hal ini kami ingin menemukan nomor yang dengan menghapus setengahnya, menghasilkan nomor satu. Ditunjukkan dengan x angka yang dicari.
"Untuk menghapus setengah" ke angka menyiratkan membaginya dengan 2. Jadi di atas dapat dinyatakan secara aljabar sebagai x / 2 = 1, dan masalahnya dikurangi untuk menyelesaikan persamaan, yang dalam hal ini adalah linear dan sangat mudah untuk dipecahkan. Kliring x kita dapatkan bahwa solusinya adalah x = 2.
Sebagai kesimpulan, 2 adalah angka yang ketika menghapus setengah sama dengan 1.
Latihan kedua
Berapa menit hilang pada tengah malam jika 10 menit hilang 5/3 dari apa yang hilang sekarang?
Solusi
Dilambangkan dengan "z" jumlah menit yang tersisa pada tengah malam (huruf lain dapat digunakan). Artinya, sekarang "z" menit untuk tengah malam hilang. Ini menyiratkan bahwa 10 menit hilang "z + 10" menit untuk tengah malam, dan ini sesuai dengan 5/3 dari apa yang hilang sekarang; yaitu, (5/3) z.
Kemudian, masalah dikurangi untuk menyelesaikan persamaan z + 10 = (5/3) z. Mengalikan kedua sisi persamaan dengan 3, persamaan 3z + 30 = 5z diperoleh.
Sekarang, dengan mengelompokkan variabel "z" di satu sisi kesetaraan, kita memperoleh bahwa 2z = 15, yang menyiratkan bahwa z = 15.
Karena itu, 15 menit tetap hingga tengah malam.
Latihan ketiga
Dalam suatu suku yang mempraktekkan barter, ada persamaan-persamaan ini:
- Tombak dan kalung ditukar dengan perisai.
- Tombak setara dengan pisau dan kalung.
- Dua perisai ditukar dengan tiga unit pisau.
Berapa banyak kerah yang setara dengan tombak?
Solusi
Sean:
Co = kalung
L = tombak
E = perisai
Cu = pisau
Maka kita memiliki hubungan berikut:
Co + L = E
L = Co + Cu
2E = 3Cu
Jadi masalahnya dikurangi menjadi penyelesaian sistem persamaan. Meskipun memiliki lebih banyak yang tidak diketahui daripada persamaan, sistem ini dapat diselesaikan, karena mereka tidak meminta kami untuk solusi spesifik tetapi salah satu variabel tergantung pada yang lain. Yang harus kita lakukan adalah mengekspresikan "Co" dalam fungsi "L" secara eksklusif.
Dari persamaan kedua kita memiliki bahwa Cu = L - Co. Mengganti yang ketiga kita mendapatkan bahwa E = (3L - 3Co) / 2. Akhirnya, menggantikan persamaan pertama dan menyederhanakannya, kita memperoleh bahwa 5Co = L; yaitu, bahwa tombak sama dengan lima kerah.
