Euclidean Geometry: Sejarah, Konsep Dasar dan Contoh

Geometri Euclidean sesuai dengan studi tentang sifat-sifat ruang geometris di mana aksioma Euclid dipenuhi. Sementara istilah ini kadang-kadang digunakan untuk mencakup geometri yang memiliki dimensi superior dengan sifat yang serupa, biasanya identik dengan geometri klasik atau geometri datar.

Pada abad ketiga a. C. Euclides dan murid-muridnya menulis Elemen, sebuah karya yang mencakup pengetahuan matematika pada masa itu yang dianugerahi dengan struktur deduktif-logis. Sejak itu, geometri telah menjadi ilmu, awalnya untuk memecahkan masalah klasik dan telah berkembang menjadi ilmu formatif yang membantu akal.

Sejarah

Untuk memulai dengan sejarah geometri Euclidean, penting untuk memulai dengan Euclid dari Alexandria dan Elemen .

Ketika Mesir ada di tangan Ptolemy I, setelah kematian Alexander the Great, ia memulai proyeknya di sebuah sekolah di Alexandria.

Di antara orang bijak yang mengajar di sekolah adalah Euclid. Diperkirakan bahwa tanggal kelahirannya sekitar 325 a. Dan kematiannya pada 265 a. C. Kita dapat mengetahui dengan pasti bahwa dia pergi ke sekolah Plato.

Selama lebih dari tiga puluh tahun Euclid mengajar di Alexandria, membangun elemen-elemen terkenalnya: ia mulai menulis deskripsi lengkap tentang matematika pada masanya. Ajaran Euclid menghasilkan murid-murid yang sangat baik, seperti Archimedes dan Apollonius dari Perga.

Euclid bertanggung jawab untuk menyusun penemuan-penemuan yang berbeda dari orang-orang Yunani klasik dalam Unsur - Unsur, tetapi tidak seperti para pendahulunya ia tidak membatasi dirinya untuk menegaskan bahwa sebuah teorema itu benar; Euclid menawarkan demonstrasi.

Elemen - elemen adalah ringkasan dari tiga belas buku. Setelah Alkitab, itu adalah buku yang paling banyak diterbitkan, dengan lebih dari seribu edisi.

Elemen adalah karya Euclid di bidang geometri, dan menawarkan perawatan definitif dari geometri dua dimensi (bidang) dan tiga dimensi (ruang), ini menjadi asal dari apa yang sekarang kita kenal sebagai geometri Euclidean .

Konsep dasar

Elemen-elemen tersebut sesuai dengan definisi, pengertian umum dan postulat (atau aksioma) diikuti oleh teorema, konstruksi dan demonstrasi.

- Poinnya adalah yang tidak memiliki bagian.

- Garis adalah panjang yang tidak memiliki lebar.

- Garis lurus adalah garis yang terletak sama dalam hubungannya dengan titik-titik yang ada di dalamnya.

- Jika dua garis dipotong sehingga sudut-sudut yang berdekatan sama, sudut-sudutnya disebut lurus dan garis-garis itu disebut tegak lurus.

- Garis paralel adalah garis yang berada di bidang yang sama, tidak pernah terpotong.

Setelah definisi ini dan lainnya, Euclid menyajikan daftar lima postulat dan lima pengertian.

Gagasan umum

- Dua hal yang sama dengan sepertiga, sama untuk satu sama lain.

- Jika hal-hal yang sama ditambahkan ke hal yang sama, hasilnya sama.

- Jika hal yang sama dikurangi dengan hal yang sama, hasilnya sama.

- Hal-hal yang bertepatan satu sama lain sama satu sama lain.

- Total lebih besar dari satu bagian.

Postulat atau aksioma

- Untuk dua titik berbeda satu dan hanya satu garis yang dilewati.

- Garis lurus dapat diperpanjang tanpa batas.

- Anda dapat menggambar lingkaran dengan pusat dan radius apa pun.

- Semua sudut kanan adalah sama.

- Jika garis lurus memotong dua garis lurus sehingga sudut internal sisi yang sama menambahkan kurang dari dua sudut kanan, maka dua garis lurus akan berpotongan di sisi itu.

Postulat terakhir ini dikenal sebagai postulat paralel dan dirumuskan ulang sebagai berikut: "Untuk titik di luar garis, kita dapat menarik satu paralel ke garis yang diberikan".

Contohnya

Selanjutnya, beberapa teorema Elemen akan berfungsi untuk menunjukkan sifat-sifat ruang geometris di mana lima postulat Euclid terpenuhi; Selain itu, mereka akan mengilustrasikan penalaran logis-deduktif yang digunakan oleh ahli matematika ini.

Contoh pertama

Proposisi 1.4. (LAL)

Jika dua segitiga memiliki dua sisi dan sudut di antara keduanya sama, maka sisi lainnya dan sudut lainnya sama.

Demonstrasi

Biarkan ABC dan A'B'C 'menjadi dua segitiga dengan AB = A'B', AC = A'C 'dan sudut BAC dan B'A'C' sama. Pindah ke segitiga A'B'C 'sehingga A'B' bertepatan dengan AB dan sudut itu B'A'C 'bertepatan dengan sudut BAC.

Kemudian, garis A'C 'bertepatan dengan garis AC, sehingga C' bertepatan dengan C. Kemudian, dengan dalil 1, garis BC harus bertepatan dengan garis B'C '. Oleh karena itu kedua segitiga bertepatan dan, akibatnya, sudut dan sisi mereka sama.

Contoh kedua

Proposisi 1.5. ( Pons Asinorum )

Jika sebuah segitiga memiliki dua sisi yang sama, maka sudut yang berseberangan dengan sisi-sisi itu sama.

Demonstrasi

Misalkan segitiga ABC memiliki sisi yang sama AB dan AC.

Kemudian, segitiga ABD dan ACD memiliki dua sisi yang sama dan sudut di antara keduanya sama. Jadi, dengan proposisi 1.4, sudut ABD dan ACD adalah sama.

Contoh ketiga

Proposisi 1.31

Anda dapat membangun garis yang sejajar dengan garis yang diberikan oleh titik tertentu.

KONSTRUKSI

Diberikan garis L dan titik P, garis lurus M ditarik yang melewati P dan memotong melalui L. Kemudian garis lurus N ditarik oleh P yang memotong ke L. Sekarang, garis N yang memotong ke M dilacak oleh P, membentuk sudut sama dengan apa yang L bentuk dengan M.

Peneguhan

N sejajar dengan L.

Demonstrasi

Misalkan L dan N tidak paralel dan berpotongan pada titik A. Misalkan B menjadi titik di L di luar A. Pertimbangkan garis O yang melewati B dan P. Kemudian, O memotong sudut-sudut pembentuk M yang menambahkan kurang dari dua lurus.

Kemudian, dengan 1, 5, garis O harus memotong ke garis L di sisi lain M, sehingga L dan O berpotongan pada dua titik, yang bertentangan dengan dalil 1. Karena itu, L dan N harus paralel.