Teorema Binomial: Demonstrasi dan Contoh

Teorema binomial adalah persamaan yang memberi tahu kita bagaimana mengembangkan ekspresi bentuk (a + b) n untuk beberapa bilangan alami n. Binomial tidak lebih dari jumlah dua elemen, seperti (a + b). Ini juga memungkinkan kita untuk mengetahui istilah yang diberikan oleh akbn-k berapa koefisien yang menyertainya.

Teorema ini biasanya dikaitkan dengan penemu, ahli fisika dan matematika Inggris Sir Isaac Newton; Namun, beberapa catatan telah ditemukan mengindikasikan bahwa di Timur Tengah keberadaannya sudah diketahui, sekitar tahun 1000.

Nomor kombinasi

Teorema binomial memberi tahu kita secara matematis berikut ini:

Dalam ungkapan ini a dan b adalah bilangan real dan n adalah bilangan alami.

Sebelum memberikan demonstrasi, mari kita lihat beberapa konsep dasar yang diperlukan.

Jumlah kombinatorial atau kombinasi n dalam k dinyatakan sebagai berikut:

Bentuk ini menyatakan nilai berapa banyak himpunan bagian dengan elemen k dapat dipilih dari satu set elemen n. Ekspresi aljabarnya diberikan oleh:

Mari kita lihat sebuah contoh: misalkan kita memiliki kelompok tujuh bola, yang dua berwarna merah dan sisanya berwarna biru.

Kami ingin tahu berapa banyak cara kami dapat memesannya secara berurutan. Salah satu cara bisa dengan menempatkan dua merah di posisi pertama dan kedua, dan sisa bola di posisi yang tersisa.

Mirip dengan kasus sebelumnya, kita bisa memberikan bola merah posisi pertama dan terakhir masing-masing, dan menempati yang lain dengan bola biru.

Sekarang, cara yang efektif untuk menghitung berapa banyak cara kita memesan bola secara berurutan adalah dengan menggunakan angka kombinatorial. Kita dapat melihat setiap posisi sebagai elemen dari set berikut:

Selanjutnya hanya perlu memilih subset dari dua elemen, di mana masing-masing elemen ini mewakili posisi bahwa bola merah akan menempati. Kita dapat membuat pilihan ini sesuai dengan hubungan yang diberikan oleh:

Dengan cara ini, ada 21 cara untuk menyortir bola seperti itu.

Ide umum dari contoh ini akan sangat berguna dalam demonstrasi teorema binomial. Mari kita lihat kasus tertentu: jika n = 4, kita memiliki (a + b) 4, yang tidak lebih dari:

Ketika kami mengembangkan produk ini, kami memiliki jumlah istilah yang diperoleh dengan mengalikan elemen dari masing-masing empat faktor (a + b). Dengan demikian, kita akan memiliki istilah yang berupa:

Jika kita ingin mendapatkan istilah dari formulir a4, cukup untuk melipatgandakannya dengan cara berikut:

Perhatikan bahwa hanya ada satu cara untuk mendapatkan elemen ini; Tapi, apa yang terjadi jika kita sekarang mencari istilah dari bentuk a2b2? Karena "a" dan "b" adalah bilangan real dan, oleh karena itu, hukum komutatif valid, kita harus mendapatkan cara untuk mendapatkan istilah ini adalah dengan memperbanyak dengan anggota seperti yang ditunjukkan oleh panah.

Melakukan semua operasi ini biasanya agak membosankan, tetapi jika kita melihat istilah "a" sebagai kombinasi di mana kita ingin tahu berapa banyak cara kita dapat memilih dua "a" dari serangkaian empat faktor, kita dapat menggunakan ide dari contoh sebelumnya. Jadi, kami memiliki yang berikut:

Dengan demikian, kita tahu bahwa dalam pengembangan akhir dari ekspresi (a + b) 4 kita akan memiliki tepat 6a2b2. Menggunakan ide yang sama untuk elemen lain, Anda harus:

Kemudian kami menambahkan ekspresi yang diperoleh sebelumnya dan kami harus:

Ini adalah demonstrasi formal untuk kasus umum di mana "n" adalah bilangan asli.

Demonstrasi

Perhatikan bahwa istilah yang tetap ketika berkembang (a + b) n adalah dari bentuk akbn-k, di mana k = 0, 1, ..., n. Menggunakan ide dari contoh sebelumnya, kita memiliki cara untuk memilih variabel «k» «a» dari faktor «n» adalah:

Dengan memilih dengan cara ini, kita secara otomatis memilih variabel nk «b». Dari sini dapat disimpulkan bahwa:

Contohnya

Mempertimbangkan (a + b) 5, apa pengembangannya?

Dengan teorema binomial kita harus:

Teorema binomial sangat berguna jika kita memiliki ekspresi di mana kita ingin tahu apa koefisien dari istilah tertentu tanpa harus melakukan pengembangan penuh. Sebagai contoh, kita dapat mengambil penyamaran berikut: berapakah koefisien x7y9 dalam pengembangan (x + y) 16?

Dengan teorema binomial, kita mendapatkan bahwa koefisiennya adalah:

Contoh lainnya adalah: berapakah koefisien x5y8 dalam pengembangan (3x-7y) 13?

Pertama kita menulis ulang ekspresi dengan cara yang mudah; ini adalah:

Kemudian, menggunakan teorema binomial, kita mendapatkan bahwa koefisien yang diinginkan adalah ketika kita memiliki k = 5

Contoh lain dari penggunaan teorema ini adalah dalam demonstrasi beberapa identitas umum, seperti yang disebutkan di bawah ini.

Identitas 1

Jika "n" adalah angka alami, kita harus:

Untuk demonstrasi kita menggunakan teorema binomial, di mana "a" dan "b" mengambil nilai 1. Kemudian kita memiliki:

Dengan cara ini kami telah membuktikan identitas pertama.

Identitas 2

Jika "n" adalah bilangan alami, maka

Dengan teorema binomial kita harus:

Demonstrasi lain

Kita dapat membuat bukti berbeda untuk teorema binomial menggunakan metode induktif dan identitas pascal, yang memberi tahu kita bahwa jika «n» dan «k» adalah bilangan bulat positif yang mematuhi n ≥ k, maka:

Demonstrasi dengan induksi

Pertama mari kita lihat bahwa basis induktif terpenuhi. Jika n = 1, kita harus:

Secara efektif, kita melihat bahwa itu terpenuhi. Sekarang, biarkan n = j sehingga terpenuhi:

Kami ingin melihat bahwa untuk n = j + 1 terpenuhi bahwa:

Jadi, kita harus:

Dengan hipotesis kita tahu bahwa:

Kemudian, menggunakan properti distributif:

Selanjutnya, kembangkan masing-masing penjumlahan yang kita miliki:

Sekarang, jika kita mengelompokkan bersama dengan cara yang nyaman, kita harus:

Menggunakan identitas pascal, kita harus:

Akhirnya, perhatikan bahwa:

Oleh karena itu, kita melihat bahwa teorema binomial terpenuhi untuk setiap "n" milik bilangan asli, dan dengan ini tes berakhir.

Keingintahuan

Bilangan kombinatorial (nk) juga disebut koefisien binomial karena justru koefisien yang muncul dalam pengembangan binomial (a + b) n.

Isaac Newton memberikan generalisasi teorema ini untuk kasus di mana eksponen adalah bilangan real; Teorema ini dikenal sebagai teorema binomial Newton.

Sudah di jaman dahulu hasil ini dikenal untuk kasus tertentu di mana n = 2. Kasus ini disebutkan dalam Elemen Euclid.