Dekomposisi aditif: aplikasi, partisi, grafik

Dekomposisi aditif bilangan bulat positif adalah untuk menyatakannya sebagai jumlah dari dua atau lebih bilangan bulat positif. Jadi, kita memiliki bahwa angka 5 dapat dinyatakan sebagai 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 atau 5 = 1 + 2 + 2. Masing-masing cara penulisan angka 5 inilah yang akan kita sebut dekomposisi aditif.

Jika kita perhatikan, kita dapat melihat bahwa ekspresi 5 = 2 + 3 dan 5 = 3 + 2 mewakili komposisi yang sama; keduanya memiliki angka yang sama. Namun, hanya demi kenyamanan, masing-masing tambahan biasanya ditulis mengikuti kriteria dari yang paling rendah hingga yang terbesar.

Dekomposisi aditif

Sebagai contoh lain kita dapat mengambil nomor 27, yang dapat kita ungkapkan sebagai:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Dekomposisi aditif adalah alat yang sangat berguna yang memungkinkan kita untuk memperkuat pengetahuan kita tentang sistem penomoran.

Dekomposisi kanonik aditif

Ketika kita memiliki angka lebih dari dua angka, cara tertentu untuk menguraikannya adalah dalam kelipatan 10, 100, 1000, 10 000, dll., Yang membuatnya. Cara penulisan angka apa pun ini disebut dekomposisi aditif kanonik. Sebagai contoh, angka 1456 dapat dirinci sebagai berikut:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Jika kita memiliki angka 20 846 295, dekomposisi aditif kanonisnya adalah:

20 846 295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6.000 + 200 + 90 +5.

Berkat dekomposisi ini, kita dapat melihat bahwa nilai digit yang diberikan diberikan oleh posisi yang didudukinya. Ambil angka 24 dan 42 sebagai contoh:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Di sini kita dapat mengamati bahwa dalam 24 2 memiliki nilai 20 unit dan 4 bernilai 4 unit; di sisi lain, di 42 4 memiliki nilai 40 unit dan 2 dari dua unit. Jadi, meskipun kedua angka menggunakan angka yang sama, nilainya sama sekali berbeda dengan posisi yang mereka tempati.

Aplikasi

Salah satu aplikasi yang dapat kita berikan pada dekomposisi aditif adalah dalam jenis demonstrasi tertentu, di mana sangat berguna untuk melihat bilangan bulat positif sebagai jumlah dari yang lain.

Contoh teorema

Mari kita ambil contoh teorema berikut dengan demonstrasi masing-masing.

- Biarkan Z menjadi bilangan bulat 4 digit, maka Z dapat dibagi dengan 5 jika jumlahnya sesuai dengan unit adalah nol atau lima.

Demonstrasi

Ingat apa yang bisa dibagi. Jika kita memiliki bilangan bulat "a" dan "b", kita mengatakan bahwa "a" membagi "b" jika ada bilangan bulat "c" sehingga b = a * c.

Salah satu sifat keterbagian memberitahu kita bahwa jika "a" dan "b" dapat dibagi dengan "c", maka pengurangan "ab" juga dapat dibagi dengan "c".

Biarkan Z menjadi bilangan bulat 4 digit; oleh karena itu, kita dapat menulis Z sebagai Z = ABCD.

Menggunakan dekomposisi aditif kanonik kita memiliki itu:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Jelas bahwa A * 1000 + B * 100 + C * 10 dapat dibagi dengan 5. Untuk ini kita memiliki bahwa Z dapat dibagi dengan 5 jika Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) dapat dibagi dengan 5.

Tetapi Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D dan D adalah angka dari satu angka, jadi satu-satunya cara agar dapat dibagi dengan 5 adalah 0 atau 5.

Oleh karena itu, Z dapat dibagi dengan 5 jika D = 0 atau D = 5.

Perhatikan bahwa jika Z memiliki n digit buktinya persis sama, itu hanya mengubah bahwa sekarang kita akan menulis Z = A ₁ A ₂ ... A _n dan tujuannya adalah untuk membuktikan bahwa A _n adalah nol atau lima.

Partisi

Kami mengatakan bahwa partisi bilangan bulat positif adalah cara di mana kita dapat menulis angka sebagai jumlah bilangan bulat positif.

Perbedaan antara dekomposisi aditif dan partisi adalah bahwa, sementara di pertama dicari setidaknya dapat didekomposisi menjadi dua atau lebih penambahan, di partisi tidak ada batasan seperti itu.

Jadi, kami memiliki yang berikut:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Di atas adalah partisi dari 5.

Yaitu, kita memiliki semua dekomposisi aditif adalah partisi, tetapi tidak setiap partisi merupakan dekomposisi aditif.

Dalam teori bilangan, teorema dasar aritmatika menjamin bahwa setiap bilangan bulat dapat ditulis secara unik sebagai produk bilangan prima.

Saat mempelajari partisi, tujuannya adalah untuk menentukan berapa banyak cara Anda dapat menulis bilangan bulat positif sebagai jumlah bilangan bulat lainnya. Oleh karena itu, kami mendefinisikan fungsi partisi seperti yang disajikan di bawah ini.

Definisi

Fungsi partisi p (n) didefinisikan sebagai jumlah cara di mana bilangan bulat positif n dapat ditulis sebagai jumlah bilangan bulat positif.

Kembali ke contoh 5, kita harus:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Sedemikian rupa, p (5) = 7.

Grafik

Baik partisi dan dekomposisi aditif dari bilangan n dapat direpresentasikan secara geometris. Misalkan kita memiliki dekomposisi aditif n. Dalam dekomposisi ini, addend dapat diatur sehingga anggota penjumlahan dipesan dari terendah ke tertinggi. Maka, ada baiknya:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ + ... + a dengan

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤ ... ≤ a _r .

Kita dapat membuat grafik penguraian seperti itu dengan cara berikut: di baris pertama kita menandai _1- poin, lalu di yang berikutnya kita menandai _2- titik, dan seterusnya hingga mencapai aa _r .

Ambil nomor 23 dan dekomposisi berikut sebagai contoh:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Kami memesan dekomposisi ini dan kami memiliki:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Grafik yang sesuai adalah:

Demikian juga, jika kita membaca grafik tersebut secara vertikal alih-alih secara horizontal, kita dapat memperoleh dekomposisi yang mungkin berbeda dari yang sebelumnya. Dalam contoh 23 menyoroti berikut ini: