Divisi Sintetis: Metode dan Latihan Latihan
Pembelahan sintetis adalah cara sederhana untuk membagi polinomial P (x) dengan salah satu bentuk d (x) = x - c. Ini adalah alat yang sangat berguna karena, selain memungkinkan kita untuk membagi polinomial, ia juga memungkinkan kita untuk mengevaluasi P polinomial (x) dalam angka c, yang pada gilirannya memberi tahu kita secara tepat jika angka ini adalah nol atau tidak dari polinomial.
Berkat algoritma pembagian, kita tahu bahwa jika kita memiliki dua polinomial non-konstan P (x) dan d (x), ada polinomial unik q (x) dan r (x) sedemikian sehingga P (x) = q (x ) d (x) + r (x), di mana r (x) adalah nol atau kurang dari q (x). Polinomial ini dikenal sebagai hasil bagi dan residu atau sisa masing-masing.
Pada kesempatan ketika polinomial d (x) berbentuk x-c, divisi sintetis memberi kita cara singkat untuk menemukan siapa yang q (x) dan r (x).
Metode pembagian sintetis
Misalkan P (x) = a n xn + a n-1 xn-1 + ... + a 1 x + a 0 polinomial yang ingin kita bagi yd (x) = xc pembagi. Untuk membaginya dengan metode pembagian sintetis, kami melanjutkan sebagai berikut:
1- Kami menulis koefisien P (x) di baris pertama. Jika ada kekuatan X tidak muncul, kami menempatkan nol sebagai koefisiennya.
2- Di baris kedua, di sebelah kiri dan kita menempatkan c, dan menggambar garis pemisah seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:
3- Kami menurunkan koefisien terkemuka ke baris ketiga.
Dalam ungkapan ini b n-1 = a n
4- Kita mengalikan c dengan koefisien terkemuka b n-1 dan hasilnya ditulis di baris kedua, tetapi kolom di sebelah kanan.
5- Kami menambahkan kolom tempat kami menulis hasil sebelumnya dan hasil yang kami masukkan di bawah jumlah itu; yaitu di kolom yang sama, baris ketiga.
Saat menambahkan, kita memiliki hasilnya n-1 + c * b n-1, yang untuk kenyamanan kita sebut b n-2
6- Kami mengalikan c dengan hasil sebelumnya dan menulis hasilnya ke kanan di baris kedua.
7- Kami ulangi langkah 5 dan 6 sampai kami mencapai koefisien pada 0 .
8- Tuliskan jawabannya; yaitu, hasil bagi dan residu. Ketika kita melakukan pembagian polinomial derajat n antara polinomial derajat 1, kita memiliki hasil bagi serius derajat n-1.
Koefisien dari polinomial hasil bagi akan menjadi angka dari baris ketiga kecuali yang terakhir, yang akan menjadi polinom sisa atau sisa dari divisi.
Latihan yang diselesaikan
Contoh 1
Lakukan pembagian berikut dengan metode pembagian sintetis:
(x5 + 3x4-7x3 + 2x2-8x + 1): (x + 1).
Solusi
Pertama kita menulis koefisien dividen sebagai berikut:
Kemudian kita menulis c di sisi kiri, di baris kedua, bersama dengan garis pembagian. Dalam contoh ini c = -1.
Kami menurunkan koefisien terdepan (dalam hal ini b n-1 = 1) dan kalikan dengan -1:
Kami menulis hasil Anda di sebelah kanan di baris kedua, seperti yang ditunjukkan di bawah ini:
Kami menambahkan angka di kolom kedua:
Kami mengalikan 2 dengan -1 dan menulis hasilnya di kolom ketiga, baris kedua:
Kami menambahkan di kolom ketiga:
Kami melanjutkan secara analog hingga mencapai kolom terakhir:
Dengan demikian, kita memiliki bahwa angka terakhir yang diperoleh adalah sisa dari divisi, dan angka yang tersisa adalah koefisien dari polinomial hasil bagi. Ini ditulis sebagai berikut:
Jika kami ingin memverifikasi bahwa hasilnya benar, cukup untuk memverifikasi bahwa persamaan berikut terpenuhi:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
Dengan cara ini kita dapat memverifikasi bahwa hasil yang diperoleh sudah benar.
Contoh 2
Lakukan pembagian polinomial selanjutnya dengan metode pembagian sintetis
(7x3-x + 2): (x + 2)
Solusi
Dalam hal ini kita memiliki bahwa istilah x2 tidak muncul, jadi kita akan menulis 0 sebagai koefisiennya. Dengan demikian, polinomial akan tetap 7x3 + 0x2-x + 2.
Kami menulis koefisien mereka berturut-turut, ini adalah:
Kami menulis nilai C = -2 ke sisi kiri di baris kedua dan menggambar garis pembagian.
Kami menurunkan koefisien terdepan b n-1 = 7 dan mengalikannya dengan -2, menulis hasilnya di baris kedua di sebelah kanan.
Kami menambahkan dan melanjutkan seperti yang dijelaskan sebelumnya, hingga kami mencapai istilah terakhir:
Dalam hal ini, sisanya adalah r (x) = - 52 dan hasil bagi yang diperoleh adalah q (x) = 7x2-14x + 27.
Contoh 3
Cara lain untuk menggunakan divisi sintetik adalah sebagai berikut: misalkan kita memiliki P polinomial (x) derajat n dan kami ingin tahu apa nilai ketika mengevaluasi dalam x = c.
Dengan algoritma pembagian yang kami miliki, kami dapat menulis polinomial P (x) dengan cara berikut:
Dalam ungkapan tersebut q (x) dan r (x) masing-masing adalah hasil bagi dan sisanya. Sekarang, jika d (x) = x- c, ketika mengevaluasi dalam c di polinomial kita menemukan yang berikut:
Ini sebabnya kami hanya perlu menemukan ar (x), dan ini bisa kami lakukan berkat divisi sintetis.
Sebagai contoh, kita memiliki polinomial P (x) = x7-9x6 + 19x5 + 12x4-3x3 + 19x2-37x-37 dan kami ingin tahu apa nilainya ketika mengevaluasi dalam x = 5. Untuk ini kami melakukan pembagian antara P (x) yd (x) = x -5 dengan metode pembagian sintetis:
Setelah operasi selesai, kita tahu bahwa kita dapat menulis P (x) dengan cara berikut:
P (x) = (x6-4x5 -x4 + 7x3 + 32x2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
Karena itu, ketika mengevaluasinya kita harus:
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
P (5) = 0 + 4253 = 4253
Seperti yang dapat kita lihat, dimungkinkan untuk menggunakan divisi sintetik untuk menemukan nilai polinomial ketika mengevaluasinya dalam c alih-alih hanya mengganti c dengan x.
Jika kami mencoba mengevaluasi P (5) dengan cara tradisional, kami harus membuat beberapa perhitungan yang cenderung membosankan.
Contoh 4
Algoritma pembagian untuk polinomial juga dipenuhi untuk polinomial dengan koefisien kompleks dan, sebagai konsekuensinya, kita memiliki bahwa metode pembagian sintetik juga bekerja untuk polinomial tersebut. Selanjutnya kita akan melihat contohnya.
Kami akan menggunakan metode pembagian sintetis untuk menunjukkan bahwa z = 1+ 2i adalah nol dari polinomial P (x) = x3 + (1 + i) x2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i); artinya, bahwa sisa pembagian P (x) antara d (x) = x - z sama dengan nol.
Kita lanjutkan seperti sebelumnya: di baris pertama kita menulis koefisien P (x), lalu di baris kedua kita menulis z dan menggambar garis pembagian.
Kami membuat divisi seperti sebelumnya; ini adalah:
Kita dapat melihat bahwa residunya adalah nol; oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa, z = 1+ 2i adalah nol dari P (x).
