Homothety: Properti, Jenis dan Contoh

Homothety adalah perubahan geometris pada bidang di mana, dari titik tetap yang disebut pusat (O), jarak dikalikan dengan faktor umum. Dengan cara ini, setiap titik P sesuai dengan produk titik P 'lain dari transformasi, dan ini selaras dengan titik O.

Kemudian, homothety adalah korespondensi antara dua angka geometris, di mana titik-titik yang diubah disebut homothetic, dan ini diselaraskan dengan titik tetap dan dengan segmen yang sejajar satu sama lain.

Homothety

Homothety adalah transformasi yang tidak memiliki citra yang kongruen, karena dari satu figur satu atau lebih figur yang ukurannya lebih besar atau lebih kecil dari angka aslinya akan diperoleh; artinya, bahwa homothety mengubah poligon menjadi poligon serupa lainnya.

Agar homothety dipenuhi, mereka harus menghubungkan titik ke titik dan langsung ke lurus, sehingga pasangan titik homolog diselaraskan dengan titik tetap ketiga, yang merupakan pusat dari homothety.

Demikian juga, pasangan garis yang bergabung dengannya harus paralel. Hubungan antara segmen tersebut adalah konstanta yang disebut rasio homothety (k); sedemikian rupa sehingga homothety dapat didefinisikan sebagai:

Untuk membuat jenis transformasi ini kita mulai dengan memilih titik arbitrer, yang akan menjadi pusat homothety.

Dari titik ini, segmen garis digambar untuk setiap simpul dari gambar yang akan diubah. Skala di mana reproduksi figur baru dibuat diberikan oleh rasio homothety (k).

Properti

Salah satu sifat utama homothety adalah bahwa, karena homothety (k), semua figur homothetic serupa. Di antara properti luar biasa lainnya adalah sebagai berikut:

- Pusat homothety (O) adalah satu-satunya titik ganda dan ini menjadi dirinya sendiri; itu tidak bervariasi.

- Garis-garis yang melewati pusat mengubah diri mereka sendiri (mereka ganda), tetapi titik-titik yang menyusunnya tidak ganda.

- Garis yang tidak melewati pusat ditransformasikan menjadi garis paralel; dengan cara itu, sudut-sudut homothety tetap sama.

- Gambar segmen dengan homotitas pusat O dan rasio k, adalah segmen yang paralel dengan itu dan memiliki k kali panjangnya. Misalnya, seperti terlihat pada gambar berikut, segmen AB oleh homothetic akan menghasilkan segmen A'B 'lainnya, sehingga AB akan sejajar dengan A'B' dan k akan menjadi:

- Sudut homotetis kongruen; yaitu, mereka memiliki ukuran yang sama. Oleh karena itu, gambar sudut adalah sudut yang memiliki amplitudo yang sama.

Di sisi lain, homothety bervariasi tergantung pada nilai rasionya (k), dan kasus-kasus berikut dapat terjadi:

- Jika konstanta k = 1, semua titik ditetapkan karena mereka mengubah diri mereka sendiri. Dengan demikian, figur homoteis bertepatan dengan aslinya dan transformasi akan disebut fungsi identitas.

- Jika k ≠ 1, satu-satunya titik tetap akan menjadi pusat homothety (O).

- Jika k = -1, homothety menjadi simetri sentral (C); artinya, rotasi di sekitar C akan terjadi pada sudut 180o.

- Jika k> 1, ukuran gambar yang diubah akan lebih besar dari ukuran aslinya.

- Jika 0 <k <1, ukuran gambar yang diubah akan lebih kecil dari aslinya.

- Jika -1 <k <0, ukuran gambar yang diubah akan lebih kecil dan akan diputar sehubungan dengan aslinya.

- Jika k <-1, ukuran gambar yang diubah akan lebih besar dan diputar sehubungan dengan aslinya.

Jenis

Homothety juga dapat diklasifikasikan menjadi dua jenis, tergantung pada nilai rasionya (k):

Homothety langsung

Ini terjadi jika konstanta k> 0; yaitu, titik-titik homotetis berada di sisi yang sama sehubungan dengan pusat:

Faktor proporsionalitas atau rasio kesamaan antara angka-angka homotetis langsung akan selalu positif.

Membalikkan homothetic

Ini terjadi jika konstanta k <0; artinya, titik-titik awal dan titik-titik homotetiknya terletak di ujung yang berlawanan berkenaan dengan pusat homothety tetapi selaras dengannya. Pusat akan berada di antara dua angka:

Faktor proporsionalitas atau rasio kemiripan antara angka-angka terbalik homotetis akan selalu negatif.

Komposisi

Ketika beberapa gerakan dilakukan berturut-turut sampai memperoleh angka yang sama dengan aslinya, komposisi gerakan terjadi. Komposisi beberapa gerakan juga merupakan gerakan.

Komposisi antara dua homoteia menghasilkan homothecia baru; yaitu, kami memiliki produk homotetik di mana pusat akan disejajarkan dengan pusat dari dua transformasi asli, dan rasio (k) adalah produk dari dua alasan.

Dengan demikian, dalam komposisi dua homoteitas H 1 (O 1, k 1 ) dan H 2 (O 2, k 2 ), penggandaan rasio mereka: k 1 x k 2 = 1 akan menghasilkan kesederhanaan rasio k 3 = k 1 x k 2 Pusat homothety baru ini (O 3 ) akan berlokasi di jalur O 1 O 2 .

Homoteitas berhubungan dengan perubahan yang datar dan tidak dapat diubah; jika dua homepage diterapkan yang memiliki pusat dan rasio yang sama tetapi dengan tanda yang berbeda, angka asli akan diperoleh.

Contohnya

Contoh pertama

Terapkan homothety ke pusat poligon yang diberikan (O), terletak 5 cm dari titik A dan yang rasionya k = 0, 7.

Solusi

Titik mana pun dipilih sebagai pusat homothety, dan dari sinar ini ditarik oleh simpul dari gambar:

Jarak dari pusat (O) ke titik A adalah OA = 5; dengan ini Anda dapat menentukan jarak salah satu titik homotetik (OA ') dengan mengetahui juga bahwa k = 0, 7:

OA '= kx OA.

OA '= 0, 7 x 5 = 3, 5.

Prosesnya dapat dilakukan untuk setiap titik, atau Anda juga dapat menggambar poligon homotetik mengingat kedua poligon memiliki sisi paralel:

Akhirnya, transformasi terlihat seperti ini:

Contoh kedua

Terapkan homothety ke pusat poligon (O) yang diberikan, terletak pada 8, 5 cm dari titik C dan yang memiliki rasio y k = -2.

Solusi

Jarak dari pusat (O) ke titik C adalah OC = 8.5; dengan data ini dimungkinkan untuk menentukan jarak dari salah satu titik homotetik (OC '), dengan mengetahui juga bahwa k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8, 5 = -17

Setelah menggambar segmen simpul dari poligon yang ditransformasi, kami menemukan bahwa titik awal dan homotetiknya terletak di ujung yang berlawanan sehubungan dengan pusat: