Bayes Theorem: penjelasan, aplikasi, latihan

Teorema Bayes adalah prosedur yang memungkinkan kita untuk mengekspresikan probabilitas bersyarat dari peristiwa acak A yang diberikan B, dalam hal distribusi probabilitas dari peristiwa B yang diberikan A dan distribusi probabilitas hanya A.

Teorema ini sangat berguna, karena berkat itu kita dapat menghubungkan probabilitas bahwa suatu peristiwa A terjadi mengetahui bahwa B terjadi, dengan probabilitas bahwa yang sebaliknya terjadi, yaitu, bahwa B terjadi diberikan A.

Teorema Bayes adalah proposisi perak dari Pendeta Thomas Bayes, seorang teolog Inggris abad kedelapan belas yang juga seorang ahli matematika. Dia adalah penulis beberapa karya dalam teologi, tetapi saat ini dikenal karena beberapa risalah matematika, di antaranya Bayes Theorem yang disebutkan di atas menonjol sebagai hasil utama.

Bayes membahas teorema ini dalam sebuah makalah yang berjudul "Sebuah Esai Menuju Pemecahan Masalah dalam Ajaran Peluang", yang diterbitkan pada 1763, dan di mana karya-karya besar telah dikembangkan untuk memecahkan masalah dalam doktrin kemungkinan. Studi dengan aplikasi di berbagai bidang pengetahuan.

Penjelasan

Pertama, untuk pemahaman lebih lanjut tentang teorema ini, beberapa konsep dasar teori probabilitas diperlukan, terutama teorema multiplikasi untuk probabilitas bersyarat, yang menyatakan bahwa

Untuk E dan A peristiwa acak dari ruang sampel S.

Dan definisi partisi, yang memberitahu kita bahwa jika kita memiliki A ₁, A ₂, ..., A _n peristiwa dari ruang sampel S, ini akan membentuk partisi S, jika A _i saling eksklusif dan penyatuan mereka adalah S.

Setelah ini, biarkan B menjadi acara lain. Maka kita bisa melihat B sebagai

Di mana A _i berpotongan dengan B adalah peristiwa yang saling eksklusif.

Dan akibatnya,

Kemudian, menerapkan teorema perkalian

Di sisi lain, probabilitas bersyarat dari Ai yang diberikan B didefinisikan oleh

Mengganti secara memadai kita harus melakukannya untuk saya

Aplikasi Bayes Theorem

Berkat hasil ini, kelompok penelitian dan berbagai perusahaan telah berhasil meningkatkan sistem yang didasarkan pada pengetahuan.

Sebagai contoh, dalam studi penyakit, teorema Bayes dapat membantu untuk membedakan probabilitas suatu penyakit akan ditemukan pada sekelompok orang dengan karakteristik tertentu, dengan mengambil data tingkat global dari penyakit tersebut dan dominasi karakteristik tersebut dalam orang sehat dan sakit.

Di sisi lain, di dunia teknologi tinggi, telah memengaruhi perusahaan besar yang telah berkembang, berkat hasil ini, perangkat lunak "Berdasarkan Pengetahuan".

Sebagai contoh sehari-hari kami memiliki asisten Microsoft Office. Teorema Bayes membantu perangkat lunak untuk mengevaluasi masalah yang disajikan pengguna dan menentukan saran apa yang harus diberikan dan dengan demikian dapat menawarkan layanan yang lebih baik sesuai dengan kebiasaan pengguna.

Perlu dicatat bahwa formula ini diabaikan sampai saat ini, ini terutama disebabkan oleh kenyataan bahwa ketika hasil ini dikembangkan 200 tahun yang lalu, ada sedikit penggunaan praktis untuk mereka. Namun, di zaman kita, berkat kemajuan teknologi yang hebat, para ilmuwan telah mencapai cara untuk mempraktikkan hasil ini.

Latihan terselesaikan

Latihan 1

Sebuah perusahaan seluler memiliki dua mesin A dan B. 54% dari ponsel yang diproduksi dibuat oleh mesin A dan sisanya oleh mesin B. Tidak semua ponsel yang diproduksi dalam kondisi baik.

Proporsi ponsel rusak yang dibuat oleh A adalah 0, 2 dan oleh B adalah 0, 5. Berapa probabilitas bahwa ponsel dari pabrik tersebut rusak? Berapa probabilitas bahwa, mengetahui bahwa ponsel rusak, berasal dari mesin A?

Solusi

Di sini, Anda memiliki percobaan yang dilakukan dalam dua bagian; pada bagian pertama peristiwa terjadi:

A: ponsel yang dibuat oleh mesin A.

B: ponsel yang dibuat oleh mesin B.

Karena mesin A menghasilkan 54% ponsel dan sisanya diproduksi oleh mesin B, mesin B memproduksi 46% ponsel. Peluang kejadian ini diberikan, yaitu:

P (A) = 0, 54.

P (B) = 0, 46.

Peristiwa bagian kedua percobaan adalah:

D: ponsel rusak

E: ponsel tidak cacat.

Seperti yang dikatakan dalam pernyataan, probabilitas kejadian ini bergantung pada hasil yang diperoleh di bagian pertama:

P (D | A) = 0, 2.

P (D | B) = 0, 5.

Dengan menggunakan nilai-nilai ini, Anda juga dapat menentukan probabilitas dari komplemen dari peristiwa ini, yaitu:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0, 2

= 0, 8

dan

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0, 5

= 0, 5.

Sekarang, acara D dapat ditulis sebagai berikut:

Menggunakan teorema perkalian untuk probabilitas bersyarat, hasilnya:

Dengan pertanyaan pertama dijawab.

Sekarang kita hanya perlu menghitung P (A | D), yang berlaku untuk Teorema Bayes:

Berkat Teorema Bayes, dapat dikatakan bahwa kemungkinan ponsel dibuat oleh mesin A, mengetahui bahwa ponselnya rusak, adalah 0, 319.

Latihan 2

Tiga kotak berisi bola putih dan hitam. Komposisi masing-masing adalah sebagai berikut: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

Salah satu kotak dipilih secara acak dan bola acak diekstraksi darinya, yang ternyata berwarna putih. Kotak mana yang paling mungkin dipilih?

Solusi

Dengan menggunakan U1, U2 dan U3, kami juga akan mewakili kotak yang dipilih.

Peristiwa ini merupakan partisi S dan diverifikasi bahwa P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 karena pilihan kotak adalah acak.

Jika B = {bola yang diekstraksi berwarna putih}, kita akan memiliki P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4.

Yang ingin kami peroleh adalah probabilitas bahwa bola dikeluarkan dari kotak Ui mengetahui bahwa bola itu berwarna putih, yaitu, P (Ui | B), dan melihat mana dari ketiga nilai itu yang paling tinggi untuk mengetahui mana kotak lebih cenderung ekstraksi bola putih.

Menerapkan teorema Bayes ke yang pertama dari kotak: