Suksesi kuadratik: contoh, aturan dan latihan yang diselesaikan

Urutan kuadratik, dalam istilah matematika, terdiri dari urutan angka yang mengikuti aturan aritmatika tertentu. Sangat menarik untuk mengetahui aturan ini untuk menentukan salah satu syarat urutan.

Salah satu cara untuk melakukan ini adalah menentukan perbedaan antara dua istilah berturut-turut dan melihat apakah nilai yang diperoleh selalu diulang. Ketika hal ini terjadi, dikatakan bahwa ini adalah suksesi reguler .

Tetapi jika itu tidak diulang, maka Anda dapat mencoba memeriksa perbedaan antara perbedaan dan melihat apakah nilai ini konstan. Jika demikian, maka itu adalah urutan kuadratik .

Contoh suksesi teratur dan urutan kuadratik

Contoh-contoh berikut membantu menjelaskan apa yang telah dijelaskan sejauh ini:

Contoh suksesi reguler

Biarkan urutan S = {4, 7, 10, 13, 16, ......}

Urutan ini, dilambangkan dengan S, adalah himpunan bilangan tak terbatas, dalam hal ini bilangan bulat.

Dapat dilihat bahwa ini adalah suksesi reguler, karena setiap istilah diperoleh dengan menambahkan 3 ke istilah atau elemen sebelumnya:

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Dengan kata lain: urutan ini teratur karena perbedaan antara istilah berikutnya dan yang sebelumnya memberikan nilai tetap. Dalam contoh yang diberikan nilai ini adalah 3.

Urutan reguler yang diperoleh dengan menambahkan jumlah tetap ke istilah sebelumnya, juga disebut progresi aritmatika. Dan perbedaan - konstan - antara istilah yang berurutan disebut alasan dan dilambangkan sebagai R.

Contoh suksesi non-reguler dan kuadratik

Lihat sekarang urutan berikut:

S = {2, 6, 12, 20, 30, ....}

Ketika perbedaan berturut-turut dihitung, nilai-nilai berikut diperoleh:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Perbedaan mereka tidak konstan, sehingga dapat ditegaskan bahwa itu adalah suksesi yang tidak teratur.

Namun, jika kita mempertimbangkan set perbedaan, kita memiliki urutan lain, yang akan dilambangkan sebagai S _dif :

S _dif = {4, 6, 8, 10, ....}

Urutan baru ini adalah urutan reguler, karena setiap istilah diperoleh dengan menambahkan nilai tetap R = 2 ke yang sebelumnya. Itulah sebabnya kita dapat menegaskan bahwa S adalah suksesi kuadratik.

Aturan umum untuk membangun suksesi kuadratik

Ada rumus umum untuk membangun urutan kuadratik:

T _n = A ∙ n2 + B ∙ n + C

Dalam rumus ini, T _n adalah istilah posisi n dari urutan. A, B dan C adalah nilai-nilai tetap, sementara n bervariasi satu per satu, yaitu 1, 2, 3, 4, ...

Dalam urutan S dari contoh sebelumnya A = 1, B = 1 dan C = 0. Dari sini dapat disimpulkan bahwa rumus yang menghasilkan semua istilah adalah: T _n = n2 + n

Itu adalah:

T ₁ = 12 + 1 = 2

T ₂ = 22 + 2 = 6

T ₃ = 32 + 3 = 12

T ₅ = 52 + 5 = 30

T _n = n2 + n

Perbedaan antara dua istilah berurutan kuadrat

T _{n + 1} - T _n = [A ∙ (n + 1) 2 + B ∙ (n + 1) + C] - [A ∙ n2 + B ∙ n + C]

Mengembangkan ekspresi melalui produk luar biasa adalah:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n2 + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n2 - B ∙ n - C

Dengan menyederhanakannya Anda mendapatkan:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Ini adalah rumus yang memberikan urutan perbedaan S _Dif yang dapat ditulis seperti ini:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Di mana jelas istilah berikutnya adalah 2 ∙ Terkadang yang sebelumnya. Artinya, alasan suksesi perbedaan S _dif adalah: R = 2 ∙ A.

Latihan pemecahan suksesi kuadratik

Latihan 1

Biarkan urutan S = {1, 3, 7, 13, 21, ......}. Tentukan apakah:

i) Biasa atau tidak

ii) Ini kuadratik atau tidak

iii) Itu kuadratik, suksesi perbedaan dan alasannya

Jawaban

i) Mari kita hitung perbedaan antara istilah berikut dan yang sebelumnya:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Kita dapat menegaskan bahwa urutan S tidak teratur, karena perbedaan antara suku-suku yang berurutan tidak konstan.

ii) Suksesi dari perbedaan adalah teratur, karena perbedaan antara istilah mereka adalah nilai konstan 2. Oleh karena itu, urutan asli S adalah kuadratik.

iii) Kami telah menentukan bahwa S adalah kuadratik, suksesi dari perbedaan adalah:

S _dif = {2, 4, 6, 8, ...} dan rasionya adalah R = 2.

Latihan 2

Biarkan urutan S = {1, 3, 7, 13, 21, ......} dari contoh sebelumnya, di mana telah diverifikasi bahwa itu kuadratik. Tentukan:

i) Formula yang menentukan istilah umum T _n.

ii) Verifikasi persyaratan ketiga dan kelima.

iii) Nilai istilah kesepuluh.

Jawaban

i) Rumus umum T _n adalah A ∙ n2 + B ∙ n + C. Maka masih perlu diketahui nilai-nilai A, B dan C.

Suksesi perbedaannya adalah benar 2. Juga untuk urutan kuadrat apapun rasio R adalah 2 ∙ A seperti yang ditunjukkan pada bagian sebelumnya.

R = 2 ∙ A = 2 yang mengarahkan kita untuk menyimpulkan bahwa A = 1.

Istilah pertama dari urutan perbedaan S _Dif adalah 2 dan harus memenuhi A ∙ (2n + 1) + B, dengan n = 1 dan A = 1, yaitu:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

kliring B Anda mendapatkan: B = -1

Maka istilah pertama S (n = 1) bernilai 1, yaitu: 1 = A ∙ 12 + B ∙ 1 + C. Seperti yang kita ketahui bahwa A = 1 dan B = -1, substitusi adalah:

1 = 1 ∙ 12 + (-1) ∙ 1 + C

Kliring C Anda mendapatkan nilainya: C = 1.

Singkatnya:

A = 1, B = -1 dan C = 1

Maka istilah ke-n adalah T _n = n2 - n + 1

ii) Istilah ketiga T ₃ = 32 - 3 + 1 = 7 dan itu diverifikasi. T ₅ kelima = 52 - 5 + 1 = 21 yang juga diverifikasi.

iii) Istilah kesepuluh adalah T ₁₀ = 102 - 10 + 1 = 91.

Latihan 3

Angka tersebut menunjukkan urutan lima angka. Kotak mewakili satuan panjang.

i) Tentukan urutan untuk area gambar.

ii) Tunjukkan bahwa itu adalah urutan kuadratik.

iii) Temukan bidang Gambar # 10 (tidak diperlihatkan).

Jawaban

i) Urutan S yang sesuai dengan bidang urutan angka adalah:

S = {0, 2, 6, 12, 20, . . . . . }

ii) Suksesi yang sesuai dengan perbedaan berturut-turut dari persyaratan S adalah:

S _dif = {2, 4, 6, 8, . . . . . }

Karena perbedaan antara suku-suku yang berurutan tidak konstan, maka S bukan urutan yang teratur. Kita perlu tahu apakah itu kuadrat, yang untuknya kita membuat urutan perbedaan, memperoleh:

{2, 2, 2, .......}

Karena semua istilah dalam urutan diulangi, dipastikan bahwa S adalah urutan kuadratik.

iii) Urutan S _dif adalah teratur dan rasio R adalah 2. Dengan menggunakan persamaan yang ditunjukkan di atas R = 2 ∙ A, ia tetap:

2 = 2 ∙ A, yang menyiratkan bahwa A = 1.

Istilah kedua dari urutan perbedaan S _Dif adalah 4 dan suku ke-n dari S _Dif adalah

A ∙ (2n +1) + B.

Istilah kedua memiliki n = 2. Selain itu sudah ditentukan bahwa A = 1, jadi dengan menggunakan persamaan sebelumnya dan substitusi yang kita miliki:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Menghapus B yang Anda dapatkan: B = -1.

Diketahui bahwa suku kedua S adalah 2, dan harus memenuhi rumus istilah umum dengan n = 2:

T _n = A ∙ n2 + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Maksud saya