Fungsi kata sifat: terdiri dari apa, untuk apa mereka dan contoh dengan latihan yang dipecahkan

Fungsi injeksi adalah semua hubungan elemen domain dengan elemen tunggal dari codomain. Juga dikenal sebagai fungsi satu-ke-satu ( 1 - 1 ), mereka adalah bagian dari klasifikasi fungsi sehubungan dengan cara di mana unsur-unsur mereka terkait.

Suatu elemen dari kodomain hanya dapat berupa gambar dari satu elemen domain, dengan cara ini nilai-nilai variabel dependen tidak dapat diulang.

Contoh yang jelas adalah mengelompokkan laki-laki dengan pekerjaan dalam kelompok A, dan dalam kelompok B dengan semua pemimpin. Fungsi F akan menjadi yang menghubungkan setiap pekerja dengan bosnya. Jika setiap pekerja dikaitkan dengan bos yang berbeda melalui F, maka F akan menjadi fungsi injeksi .

Untuk menganggap suatu fungsi sebagai suntikan, hal-hal berikut harus dipenuhi:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Ini adalah cara aljabar untuk mengatakan Untuk semua x ₁ berbeda dari x ₂ kita memiliki F (x ₁ ) berbeda dari F (x ₂ ).

Untuk apa fungsi injeksi?

Suntikan adalah properti dari fungsi kontinu, karena mereka memastikan alokasi gambar untuk setiap elemen domain, aspek penting dalam kontinuitas fungsi.

Ketika menggambar garis yang sejajar dengan sumbu X pada grafik fungsi injeksi, hanya grafik yang harus disentuh pada satu titik, terlepas dari berapa tinggi atau besarnya Y garis yang digambar. Ini adalah cara grafis untuk menguji injeksi suatu fungsi.

Cara lain untuk menguji apakah suatu fungsi injeksi, adalah menghapus variabel independen X dalam hal variabel dependen Y. Kemudian Anda harus memverifikasi apakah domain dari ekspresi baru ini berisi bilangan real, pada saat yang sama untuk setiap nilai Y Hanya ada satu nilai X.

Fungsi atau hubungan keteraturan mematuhi, antara lain, notasi F: D _f → C _f

Itu dibaca F yang bergerak dari D _f ke C _f

Di mana fungsi F menghubungkan set Domain dan Codomain. Juga dikenal sebagai set mulai dan set kedatangan.

Domain D _f berisi nilai yang diizinkan untuk variabel independen. Codomain Cf dibentuk oleh semua nilai yang tersedia untuk variabel dependen. Elemen-elemen dari _Cf terkait dengan _Df dikenal sebagai Function Range ( _Rf ).

Pengkondisian fungsi

Terkadang fungsi yang tidak injeksi, dapat dikenakan kondisi tertentu. Kondisi baru ini dapat mengubahnya menjadi fungsi injeksi. Semua jenis modifikasi pada domain dan codomain dari fungsi adalah valid, di mana tujuannya adalah untuk mematuhi sifat-sifat injeksi dalam hubungan yang sesuai.

Contoh fungsi injeksi dengan latihan yang dipecahkan

Contoh 1

Biarkan fungsi F: R → R didefinisikan oleh garis F (x) = 2x - 3

A: [Semua bilangan real]

Diamati bahwa untuk setiap nilai domain ada gambar di codomain. Gambar ini unik yang menjadikan F fungsi injeksi. Ini berlaku untuk semua fungsi linier (Fungsi yang tingkat tertinggi variabelnya satu).

Contoh 2

Biarkan fungsi F: R → R didefinisikan oleh F (x) = x2 +1

Ketika menggambar garis horizontal, diamati bahwa grafik ditemukan pada lebih dari satu kesempatan. Karena itu, fungsi F tidak injeksi selama R → R didefinisikan

Kami melanjutkan untuk mengkondisikan domain fungsi:

F: R + U {0} → R

Sekarang variabel independen tidak mengambil nilai negatif, sehingga menghindari hasil berulang dan fungsi F: R + U {0} → R yang didefinisikan oleh F (x) = x2 + 1 bersifat injeksi .

Solusi homolog lain adalah dengan membatasi domain dari kiri, yaitu membatasi fungsi hanya mengambil nilai negatif dan nol.

Kami melanjutkan untuk mengkondisikan domain fungsi

F: R- U {0} → R

Sekarang variabel independen tidak mengambil nilai negatif, ini menghindari hasil yang berulang dan fungsi F: R- U {0} → R yang didefinisikan oleh F (x) = x2 + 1 bersifat injeksi .

Fungsi trigonometri memiliki perilaku yang mirip dengan gelombang, di mana sangat umum untuk menemukan pengulangan nilai dalam variabel dependen. Melalui pengkondisian khusus, berdasarkan pengetahuan sebelumnya tentang fungsi-fungsi ini, kita dapat membatasi domain untuk memenuhi kondisi injeksi.

Contoh 3

Biarkan fungsi F menjadi: [- π / 2, π / 2 ] → R didefinisikan oleh F (x) = Cos (x)

Dalam interval [- π / 2 → π / 2 ] fungsi cosinus bervariasi hasilnya antara nol dan satu.

Seperti yang ditunjukkan pada grafik. Mulai dari nol di x = - π / 2 lalu mencapai maksimum di nol. Setelah x = 0 nilainya mulai berulang, sampai kembali ke nol pada x = π / 2. Dengan cara ini diketahui bahwa F (x) = Cos (x) tidak injeksi untuk interval [- π / 2, π / 2 ] .

Ketika mempelajari grafik fungsi F (x) = Cos (x), kami mengamati interval di mana perilaku kurva beradaptasi dengan kriteria injeksi. Seperti misalnya intervalnya

[0, π ]

Di mana fungsi bervariasi hasil dari 1 hingga -1, tanpa mengulangi nilai apa pun dalam variabel dependen.

Dengan cara ini fungsi fungsi F: [0, π ] → R didefinisikan oleh F (x) = Cos (x). Itu adalah suntikan

Ada fungsi non-linear di mana kasus serupa disajikan. Untuk ekspresi tipe rasional, di mana penyebut menampung setidaknya satu variabel, ada batasan yang mencegah injeksi hubungan.

Contoh 4

Biarkan fungsi F: R → R didefinisikan oleh F (x) = 10 / x

Fungsi ini didefinisikan untuk semua bilangan real kecuali {0} yang memiliki ketidakpastian (Tidak dapat dibagi dengan nol) .

Ketika mendekati nol di sebelah kiri variabel dependen mengambil nilai negatif yang sangat besar, dan segera setelah nol, nilai-nilai variabel dependen mengambil angka positif yang besar.

Gangguan ini menyebabkan ekspresi F: R → R didefinisikan oleh F (x) = 10 / x

Jangan suntik.

Seperti yang terlihat dalam contoh sebelumnya, pengecualian nilai dalam domain berfungsi untuk "memperbaiki" ketidakpastian ini. Kami melanjutkan untuk mengecualikan nol dari domain, meninggalkan set keberangkatan dan kedatangan didefinisikan sebagai berikut:

R - {0} → R

Di mana R - {0} melambangkan real kecuali untuk satu set yang hanya elemennya nol.

Dengan cara ini ungkapan F: R - {0} → R yang didefinisikan oleh F (x) = 10 / x bersifat injeksi.

Contoh 5

Biarkan fungsi F menjadi: [0, π ] → R didefinisikan oleh F (x) = Sen (x)

Dalam interval [0, π ] fungsi sinus bervariasi hasilnya antara nol dan satu.

Seperti yang ditunjukkan pada grafik. Mulai dari nol di x = 0, lalu mencapai maksimum di x = π / 2. Setelah x = π / 2 nilainya mulai berulang, sampai kembali ke nol pada x = π. Dengan cara ini diketahui bahwa F (x) = Sen (x) tidak injeksi untuk interval [0, π ] .

Ketika mempelajari grafik fungsi F (x) = Sen (x), kami mengamati interval di mana perilaku kurva beradaptasi dengan kriteria injeksi. Seperti misalnya interval [ π / 2 , 3π / 2 ]

Di mana fungsi bervariasi hasil dari 1 hingga -1, tanpa mengulangi nilai apa pun dalam variabel dependen.

Dengan cara ini fungsi F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R didefinisikan oleh F (x) = Sen (x). Itu adalah suntikan

Contoh 6

Verifikasi apakah fungsi F: [0, ∞) → R yang didefinisikan oleh F (x) = 3x2 bersifat injeksi.

Pada kesempatan ini, domain ekspresi sudah terbatas. Juga diamati bahwa nilai-nilai variabel dependen tidak diulang dalam interval ini.

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa F: [0, ∞) → R didefinisikan oleh F (x) = 3x2 bersifat injeksi

Contoh 7

Identifikasi fungsi-fungsi berikut ini

1. Itu adalah suntikan. Elemen-elemen terkait dari codomain unik untuk setiap nilai variabel independen.
2. Itu bukan suntikan. Ada elemen-elemen dari codomain yang terkait dengan lebih dari satu elemen dari set awal.
3. Itu adalah suntikan
4. Itu bukan suntikan

Latihan diusulkan untuk kelas / rumah

Periksa apakah fungsi-fungsi berikut ini injeksi:

F: [0, ∞) → R didefinisikan oleh F (x) = (x + 3) 2

F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R didefinisikan oleh F (x) = Tan (x)

F: [- π , π ] → R didefinisikan oleh F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R didefinisikan oleh garis F (x) = 7x + 2