Fungsi bijective: terdiri dari apa, bagaimana hal itu dilakukan, contoh dan latihan

Fungsi bijective adalah fungsi yang memenuhi kondisi ganda yaitu injective dan surjective . Artinya, semua elemen domain memiliki gambar tunggal dalam codomain, dan pada gilirannya codomain sama dengan rentang fungsi ( _Rf ).

Itu terpenuhi ketika mempertimbangkan hubungan satu-ke-satu antara elemen domain dan codomain. Contoh sederhana adalah fungsi F: R → R yang didefinisikan oleh garis F (x) = x

Diamati bahwa untuk setiap nilai domain atau set keberangkatan (kedua istilah berlaku sama) kami memiliki satu gambar dalam codomain atau set kedatangan. Selain itu, tidak ada elemen kode domain yang bukan gambar.

Dengan cara ini F: R → R didefinisikan oleh garis F (x) = x adalah kata sifat

Bagaimana fungsi bijective dibuat?

Untuk menjawab ini, perlu jelas tentang konsep yang terkait dengan Injectivity dan Superjectivity dari suatu fungsi, serta kriteria untuk mengkondisikan fungsi untuk menyesuaikannya dengan persyaratan.

Suntikan fungsi

Sebuah fungsi bersifat injeksi ketika setiap elemen dari domainnya terkait dengan satu elemen dari codomain. Suatu elemen dari kodomain hanya dapat berupa gambar dari satu elemen domain, dengan cara ini nilai-nilai variabel dependen tidak dapat diulang.

Untuk menganggap suatu fungsi sebagai suntikan, hal-hal berikut harus dipenuhi:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Aktivitas yang berlebihan dari suatu fungsi

Suatu fungsi digolongkan sebagai surjektif, jika setiap elemen dari kodomainnya adalah gambar dari setidaknya satu elemen domain.

Untuk menganggap proyek sebagai mendung, berikut ini harus dipenuhi:

Biarkan F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Ini adalah cara aljabar untuk menetapkan bahwa untuk semua "b" yang dimiliki oleh C _f ada "a" yang dimiliki oleh D _f sehingga, fungsi yang dievaluasi dalam "a" sama dengan "b".

Pengkondisian fungsi

Terkadang fungsi yang tidak bijective, dapat dikenakan kondisi tertentu. Kondisi baru ini dapat mengubahnya menjadi fungsi bijective. Semua jenis modifikasi pada domain dan codomain dari fungsi adalah valid, di mana tujuannya adalah untuk mematuhi sifat-sifat injeksi dan aktivitas berlebihan dalam hubungan yang sesuai.

Contoh: latihan yang dipecahkan

Latihan 1

Biarkan fungsi F: R → R ditentukan oleh garis F (x) = 5x +1

A: [Semua bilangan real]

Diamati bahwa untuk setiap nilai domain ada gambar di codomain. Gambar ini unik yang menjadikan F fungsi injeksi . Dengan cara yang sama kita mengamati bahwa codomain dari fungsi sama dengan peringkatnya. Sehingga memenuhi syarat aktivitas berlebihan.

Dengan menjadi suntik dan surjektif pada saat yang sama kita dapat menyimpulkan itu

F: R → R didefinisikan oleh garis F (x) = 5x +1 adalah fungsi bijective.

Ini berlaku untuk semua fungsi linier (Fungsi yang tingkat tertinggi variabelnya satu).

Latihan 2

Biarkan fungsi F: R → R didefinisikan oleh F (x) = 3x2 - 2

Ketika menggambar garis horizontal, diamati bahwa grafik ditemukan pada lebih dari satu kesempatan. Karena itu, fungsi F tidak injeksi dan oleh karena itu tidak akan bijektif selama didefinisikan dalam R → R

Dengan cara yang sama ada nilai-nilai kodomain yang bukan gambar dari setiap elemen domain. Karena itu, fungsi ini tidak bersifat surjektif, yang layak untuk kondisi juga set kedatangan.

Kami melanjutkan untuk mengkondisikan domain dan kode fungsi

F: [0, ∞] → [- 2, ∞ ]

Di mana diamati bahwa domain baru mencakup nilai-nilai dari nol hingga tak terbatas positif. Menghindari pengulangan nilai yang mempengaruhi injeksi.

Begitu juga codomain telah dimodifikasi, mulai dari "-2" hingga infinity positif, menghilangkan dari codomain nilai-nilai yang tidak sesuai dengan elemen domain apa pun.

Dengan cara ini dapat dipastikan bahwa F : [0, ∞] → [- 2, ∞ ] didefinisikan oleh F (x) = 3x2 - 2

Itu adalah kata sifat

Latihan 3

Biarkan fungsi F menjadi: R → R didefinisikan oleh F (x) = Sen (x)

Dalam interval [- ∞, + ∞ ] fungsi sinus bervariasi hasilnya antara nol dan satu.

Fungsi F tidak sesuai dengan kriteria injeksi dan sobreyectividad, karena nilai-nilai variabel dependen diulang setiap interval π. Selain itu, syarat-syarat kodomain di luar interval [-1, 1] bukan gambar dari elemen domain apa pun.

Ketika mempelajari grafik fungsi F (x) = Sen (x), kami mengamati interval di mana perilaku kurva memenuhi kriteria bijektivitas . Seperti misalnya interval _Df = [ π / 2 , 3π / 2 ] untuk domain. Dan C _f = [-1, 1] untuk kode domain.

Di mana fungsi bervariasi hasil dari 1 hingga -1, tanpa mengulangi nilai apa pun dalam variabel dependen. Dan pada saat yang sama codomain sama dengan nilai-nilai yang diadopsi oleh ekspresi Sen (x)

Dengan cara ini fungsi F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → [-1, 1] didefinisikan oleh F (x) = Sen (x). Itu adalah kata sifat

Latihan 4

Pose kondisi yang diperlukan untuk D _f dan C _f . Demikian ungkapannya

F (x) = -x2 adalah kata sifat .

Pengulangan hasil diamati ketika variabel mengambil nilai yang berlawanan:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Domain dikondisikan, membatasi ke sisi kanan garis nyata.

D _f = [0, + ∞ ]

Dengan cara yang sama diamati bahwa rentang fungsi ini adalah interval [- ∞ , 0], yang ketika bertindak sebagai codomain memenuhi kondisi aktivitas berlebihan.

Dengan cara ini kita bisa menyimpulkan itu

Ekspresi F: [0, + ∞ ] → [- ∞ , 0] didefinisikan oleh F (x) = -x2 Ini adalah kata sifat