Fungsi superjektif: definisi, properti, contoh dan latihan

Fungsi overject adalah setiap relasi di mana setiap elemen yang dimiliki oleh codomain adalah gambar dari setidaknya satu elemen domain. Juga dikenal sebagai fungsi aktif, mereka adalah bagian dari klasifikasi fungsi sehubungan dengan cara elemen-elemennya saling berhubungan.

Misalnya, fungsi F: A → B didefinisikan oleh F (x) = 2x

Yang berbunyi " F yang bergerak dari A ke B didefinisikan oleh F (x) = 2x"

Perlu untuk menentukan set keberangkatan dan kedatangan A dan B.

A: {1, 2, 3, 4, 5} Sekarang nilai atau gambar yang akan dilemparkan oleh masing-masing elemen ini ketika dievaluasi dalam F, akan menjadi elemen dari codomain.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Membentuk himpunan B: {2, 4, 6, 8, 10}

Dapat disimpulkan bahwa:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} didefinisikan oleh F (x) = 2x Ini adalah fungsi overject

Setiap elemen dari codomain harus dihasilkan dari setidaknya satu operasi variabel independen melalui fungsi yang dimaksud. Tidak ada batasan gambar, elemen dari codomain dapat menjadi gambar lebih dari satu elemen domain dan masih diperlakukan sebagai fungsi overjective .

Gambar menunjukkan 2 contoh dengan fungsi superjektif .

Pada bagian pertama diamati bahwa gambar dapat dirujuk dari elemen yang sama, tanpa mengurangi aktivitas fungsi yang berlebihan.

Di bagian kedua kita melihat distribusi yang adil antara domain dan gambar. Ini memunculkan fungsi bijective, di mana kriteria fungsi injeksi dan fungsi surjective harus dipenuhi .

Metode lain untuk mengidentifikasi fungsi surjektif adalah memverifikasi apakah codomain sama dengan rentang fungsi. Ini berarti bahwa jika set kedatangan sama dengan gambar yang disediakan oleh fungsi ketika mengevaluasi variabel independen, fungsi tersebut bersifat surjektif.

Properti

Untuk menganggap proyek sebagai mendung, berikut ini harus dipenuhi:

Biarkan F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Ini adalah cara aljabar untuk menetapkan bahwa untuk semua "b" yang dimiliki oleh C _f ada "a" yang dimiliki oleh D _f sehingga, fungsi F yang dievaluasi dalam "a" sama dengan "b".

Sobreyectividad adalah kekhasan fungsi, di mana codomain dan pangkatnya serupa. Dengan demikian, elemen-elemen yang dievaluasi dalam fungsi membentuk set kedatangan.

Pengkondisian fungsi

Terkadang fungsi yang tidak bersifat surjektif, dapat dikenakan kondisi tertentu. Kondisi baru ini dapat mengubahnya menjadi fungsi surjektif.

Semua jenis modifikasi pada domain dan codomain dari fungsi adalah valid, di mana tujuannya adalah untuk mematuhi sifat-sifat aktivitas berlebihan dalam hubungan yang sesuai.

Contoh: latihan yang dipecahkan

Untuk memenuhi kondisi aktivitas berlebihan, teknik pengkondisian yang berbeda harus diterapkan, ini untuk memastikan bahwa setiap elemen dari kodomain berada dalam rangkaian gambar fungsi.

Latihan 1

Biarkan fungsi F: R → R didefinisikan oleh garis F (x) = 8 - x

A: [Semua bilangan real]

Dalam hal ini fungsi tersebut menggambarkan garis kontinu, yang mencakup semua bilangan real dalam domain dan rentangnya. Karena rentang fungsi _Rf sama dengan codomain R, dapat disimpulkan bahwa:

F: R → R didefinisikan oleh garis F (x) = 8 - x adalah fungsi surjektif.

Ini berlaku untuk semua fungsi linier (Fungsi yang tingkat tertinggi variabelnya satu).

Latihan 2

Pelajari fungsi F: R → R yang didefinisikan oleh F (x) = x2 : Tentukan apakah itu fungsi surjektif . Jika tidak, perlihatkan kondisi yang diperlukan untuk membuatnya superjektif.

Hal pertama yang harus diperhitungkan adalah kode domain F, yang terdiri dari bilangan real R. Tidak ada cara bagi fungsi untuk menghasilkan nilai negatif, yang mengecualikan real negatif dari antara gambar yang mungkin.

Mengkondisikan codomain ke interval [0, ∞ ]. Dihindari untuk meninggalkan elemen codomain tanpa berhubungan melalui F.

Gambar diulangi untuk pasangan elemen variabel independen, seperti x = 1 dan x = - 1. Tetapi ini hanya mempengaruhi injeksi fungsi, bukan menjadi masalah untuk penelitian ini.

Dengan cara ini dapat disimpulkan bahwa:

F: R → [0, ∞ ) didefinisikan oleh F (x) = x2 Ini adalah fungsi overject

Latihan 3

Tetapkan kondisi codomain yang akan melebihi fungsi

F: R → R didefinisikan oleh F (x) = Sen (x)

F: R → R didefinisikan oleh F (x) = Cos (x)

Perilaku fungsi trigonometri mirip dengan gelombang, menjadi sangat umum untuk menemukan pengulangan variabel dependen antara gambar. Juga dalam banyak kasus rentang fungsi terbatas pada satu atau beberapa sektor dari garis nyata.

Ini adalah kasus fungsi Sine dan Cosine. Di mana nilainya berfluktuasi dalam interval [-1, 1]. Interval ini harus mengkondisikan codomain untuk mencapai aktivitas berlebih dari fungsi.

F: R → [-1, 1] didefinisikan oleh F (x) = Sen (x) Ini adalah fungsi overject

F: R → [-1, 1] didefinisikan oleh F (x) = Cos (x) Ini adalah fungsi overject

Latihan 4

Pelajari fungsinya

F: [0, ∞ ) → R didefinisikan oleh F (x) = ± √x menunjukkan jika ini adalah fungsi overject

Fungsi F (x) = ± √x memiliki kekhususan yang mendefinisikan 2 variabel dependen untuk setiap nilai "x". Artinya, rentang menerima 2 elemen untuk masing-masing yang dilakukan dalam domain. Nilai positif dan negatif harus diverifikasi untuk setiap nilai "x".

Ketika mengamati set awal, perlu dicatat bahwa domain telah dibatasi, ini untuk menghindari ketidakpastian yang dihasilkan ketika mengevaluasi angka negatif dalam root.

Saat memeriksa rentang fungsi, perlu dicatat bahwa setiap nilai dari kodomain termasuk dalam rentang tersebut.

Dengan cara ini dapat disimpulkan bahwa:

F: [0, ∞ ) → R didefinisikan oleh F (x) = ± √x Ini adalah fungsi overject

Latihan 4

Mempelajari fungsi F (x) = Ln x menunjukkan jika ini adalah fungsi overject . Kondisi kedatangan dan keberangkatan diatur untuk menyesuaikan fungsi dengan kriteria overjetivity.

Seperti yang ditunjukkan dalam grafik, fungsi F (x) = Ln x didefinisikan untuk nilai "x" lebih besar dari nol. Sementara nilai "dan" atau gambar dapat mengambil nilai nyata apa pun.

Dengan cara ini kita dapat membatasi domain F (x) = ke interval (0, ∞ )

Sementara rentang fungsi dapat dipertahankan sebagai himpunan bilangan real R.

Menimbang hal ini, dapat disimpulkan bahwa:

F: [0, ∞ ) → R didefinisikan oleh F (x) = Ln x Ini adalah fungsi overject

Latihan 5

Pelajari fungsi nilai absolut F (x) = | x | dan menentukan set kedatangan dan keberangkatan yang cocok dengan kriteria overjetivity.

Domain fungsi terpenuhi untuk semua bilangan real R. Dengan cara ini pengkondisian hanya harus dilakukan dalam codomain, dengan mempertimbangkan bahwa fungsi nilai absolut hanya mengambil nilai positif.

Itu hasil untuk membangun codomain dari fungsi yang menyamakannya dengan rentang yang sama

[0, ∞ )

Sekarang kita dapat menyimpulkan bahwa:

F: [0, ∞ ) → R didefinisikan oleh F (x) = | x | Ini adalah fungsi overject