Konstanta integrasi: makna, bagaimana itu dihitung dan contoh

Konstanta integrasi adalah nilai tambah untuk perhitungan antiderivatif atau integral, yang berfungsi untuk mewakili solusi yang membentuk primitif dari suatu fungsi. Ini mengungkapkan ambiguitas yang melekat di mana fungsi apa pun memiliki jumlah primitif tak terbatas.

Sebagai contoh jika fungsi diambil: f (x) = 2x + 1 dan kita mendapatkan antiderivatifnya:

∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C ; Di mana C adalah konstanta integrasi dan secara grafis mewakili terjemahan vertikal antara kemungkinan tak terhingga dari primitif. Benar untuk mengatakan bahwa (x2 + x) adalah salah satu primitif dari f (x).

Dengan cara yang sama kita dapat mendefinisikan a (x2 + x + C ) sebagai primitif dari f (x).

Membalikkan properti

Dapat dicatat bahwa ketika menurunkan ekspresi (x2 + x) fungsi f (x) = 2x + 1 diperoleh.Hal ini disebabkan oleh properti invers yang ada antara derivasi dan integrasi fungsi. Properti ini memungkinkan untuk mendapatkan formula integrasi mulai dari diferensiasi. Yang memungkinkan verifikasi integral melalui turunan yang sama.

Namun (x2 + x) bukan satu-satunya fungsi yang turunannya sama dengan (2x + 1).

d ( x2 + x) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 1) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 2) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 3) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + C ) / dx = 2x + 1

Dimana 1, 2, 3 dan 4 mewakili primitif khusus dari f (x) = 2x + 1. Sedangkan 5 mewakili integral tak terbatas atau primitif dari f (x) = 2x + 1.

Primitif suatu fungsi dicapai melalui proses antiderivasi atau integral. Di mana F akan menjadi primitif dari f jika yang berikut ini benar

y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = konstanta integrasi
F '(x) = f (x)

Diakui bahwa fungsi memiliki turunan tunggal, tidak seperti primitif tak terbatas yang dihasilkan dari integrasi.

Integral yang tidak terbatas

∫ f (x) dx = F (x) + C

Sesuai dengan keluarga kurva dengan pola yang sama, yang mengalami ketidaksesuaian dalam nilai gambar dari setiap titik (x, y). Setiap fungsi yang sesuai dengan pola ini akan menjadi primitif individu dan himpunan semua fungsi dikenal sebagai integral tak terbatas.

Nilai konstanta integrasi akan menjadi nilai yang membedakan setiap fungsi dalam praktik.

Konstanta integrasi menunjukkan pergeseran vertikal dalam semua grafik yang mewakili primitif fungsi. Di mana paralelisme di antara mereka diamati, dan fakta bahwa C adalah nilai perpindahan.

Menurut praktik umum, konstanta integrasi dilambangkan dengan huruf "C" setelah addend, meskipun dalam praktiknya acuh tak acuh jika konstanta ditambahkan atau dikurangi. Nilai sebenarnya dapat ditemukan dalam berbagai cara sesuai dengan kondisi awal yang berbeda.

Makna lain dari konstanta integrasi

Kita sudah bicara tentang bagaimana konstanta integrasi diterapkan di cabang kalkulus integral ; Merupakan keluarga kurva yang mendefinisikan integral tak terbatas. Tetapi banyak ilmu dan cabang lain telah menetapkan nilai-nilai yang sangat menarik dan praktis dari konstanta integrasi, yang telah memfasilitasi pengembangan berbagai studi.

Dalam fisika konstanta integrasi dapat mengambil beberapa nilai sesuai dengan sifat data. Contoh yang sangat umum adalah untuk mengetahui fungsi V (t) yang mewakili kecepatan partikel versus waktu t. Diketahui bahwa menghitung primitif V (t) memberikan fungsi R (t) yang mewakili posisi partikel versus waktu.

Konstanta integrasi akan mewakili nilai posisi awal, yaitu, pada saat t = 0.

Demikian pula, jika kita mengetahui fungsi A (t) yang mewakili percepatan partikel versus waktu. Primitif A (t) akan menghasilkan fungsi V (t), di mana konstanta integrasi akan menjadi nilai kecepatan awal V ₀ .

Dalam ilmu ekonomi, dengan memperoleh fungsi fungsi primitif melalui integrasi. Konstanta integrasi akan mewakili biaya tetap. Dan begitu banyak aplikasi lain yang membutuhkan kalkulus diferensial dan integral.

Bagaimana konstanta integrasi dihitung?

Untuk perhitungan konstanta integrasi, akan selalu diperlukan untuk mengetahui kondisi awal . Yang bertanggung jawab untuk menentukan mana dari primitif yang mungkin adalah yang sesuai.

Dalam banyak aplikasi itu diperlakukan sebagai variabel independen pada waktu (t), di mana konstanta C mengambil nilai-nilai yang menentukan kondisi awal dari kasus tertentu.

Jika contoh awal diambil: ∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C

Kondisi awal yang valid adalah mengkondisikan grafik untuk melewati koordinat tertentu. Sebagai contoh, diketahui bahwa primitif (x2 + x + C) melewati titik (1, 2)

F (x) = x2 + x + C; ini adalah solusi umum

F (1) = 2

Kami mengganti solusi umum dalam persamaan ini

F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2

Dari situlah mudah disimpulkan bahwa C = 0

Dengan cara ini primitif yang sesuai untuk kasus ini adalah F (x) = x2 + x

Ada beberapa jenis latihan numerik yang bekerja dengan konstanta integrasi . Faktanya, perhitungan diferensial dan integral tidak berhenti berlaku dalam investigasi saat ini. Di tingkat akademik yang berbeda mereka dapat ditemukan; mulai dari perhitungan awal, melewati fisika, kimia, biologi, ekonomi, dan lain-lain.

Hal ini juga terlihat dalam studi persamaan diferensial, di mana konstanta integrasi dapat mengambil berbagai nilai dan solusi, hal ini disebabkan oleh berbagai derivasi dan integrasi yang dibuat dalam hal ini.

Contohnya

Contoh 1

Sebuah meriam yang terletak setinggi 30 meter menembakkan proyektil ke atas secara vertikal. Diketahui bahwa kecepatan awal proyektil adalah 25 m / s. Tentukan:

Fungsi yang menentukan posisi proyektil sehubungan dengan waktu.
Waktu penerbangan atau waktu instan di mana partikel menyentuh tanah.

Diketahui bahwa dalam gerakan bujursangkar bervariasi seragam percepatan adalah nilai konstan. Ini adalah kasus peluncuran proyektil, di mana akselerasi akan menjadi gravitasi

g = - 10 m / s2

Diketahui juga bahwa akselerasi adalah turunan kedua dari posisi, yang menunjukkan integrasi ganda dalam resolusi latihan, sehingga diperoleh dua konstanta integrasi.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Kondisi awal latihan menunjukkan bahwa kecepatan awal adalah V ₀ = 25 m / s. Ini adalah kecepatan pada saat instan t = 0. Dengan demikian, berarti bahwa:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ dan C ₁ = 25

Fungsi kecepatan didefinisikan

V (t) = -10t + 25; Kesamaan dengan rumus MRUV dapat diamati (V _f = V ₀ + axt)

Secara homolog, fungsi kecepatan terintegrasi untuk mendapatkan ekspresi yang mendefinisikan posisi:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t2 + 25t + C ₂

R (t) = -5t2 + 25t + C ₂ (posisi primitif)

Posisi awal R (0) = 30 m diketahui. Kemudian primitif tertentu dari proyektil dihitung.

R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C ₂ . Di mana C ₂ = 30

Bagian pertama diselesaikan karena R (t) = -5t2 + 25t + 30 ; Ekspresi ini homolog dengan rumus perpindahan di MRUV R (t) = R ₀ + V ₀ t - gt2 / 2

Untuk bagian kedua kita harus menyelesaikan persamaan kuadrat: -5t2 + 25t + 30 = 0

Karena ini mengkondisikan partikel untuk mencapai tanah (posisi = 0)

Sebenarnya persamaan kelas 2 memberi kita 2 solusi T: {6, -1}. Nilai t = -1 diabaikan karena itu adalah satuan waktu yang domainnya tidak termasuk angka negatif.

Dengan cara ini, bagian kedua diselesaikan, di mana waktu penerbangan sama dengan 6 detik.

Contoh 2

Temukan primitif f (x) yang memenuhi kondisi awal:

f "(x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Dengan informasi dari turunan kedua f '' (x) = 4 proses antiderivasi dimulai

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Kemudian, dengan mengetahui kondisi f '(2) = 2, lanjutkan:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 dan f '(x) = 4x - 8

Prosedur yang sama diikuti untuk konstanta integrasi kedua

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x2 - 8x + C ₂

Kondisi awal f (0) = 7 diketahui dan kami melanjutkan:

2 (0) 2 - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 dan f (x) = 2x2 - 8x + 7

f "(x) = x2; f '(0) = 6; f (0) = 3

Dengan cara yang mirip dengan masalah sebelumnya, kami mendefinisikan turunan pertama dan fungsi asli dari kondisi awal.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x2) dx = (x3 / 3) + C ₁

Dengan kondisi f '(0) = 6 lanjutkan:

(03/3) + C ₁ = 6; Di mana C ₁ = 6 dan f '(x) = (x3 / 3) + 6

Kemudian konstanta integrasi kedua

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ [(x3 / 3) + 6] dx = (x4 / 12) + 6x + C ₂

Kondisi awal f (0) = 3 diketahui dan dilanjutkan:

[(0) 4/12] + 6 (0) + C ₂ = 3; Di mana C ₂ = 3

Primitif khusus demikian diperoleh

f (x) = (x4 / 12) + 6x + 3

Contoh 3

Tentukan fungsi primitif yang diberikan turunan dan titik grafik:

dy / dx = 2x - 2 Apa yang terjadi melalui titik (3, 2)

Penting untuk diingat bahwa turunan mengacu pada kemiringan garis tangen ke kurva pada titik tertentu. Di mana tidak benar untuk mengasumsikan bahwa grafik derivatif menyentuh titik yang ditunjukkan, karena ini termasuk dalam grafik fungsi primitif.

Dengan cara ini kami menyatakan persamaan diferensial dengan cara berikut:

dy = ( 2x - 2) dx ; kemudian, ketika menerapkan kriteria antiderivasi, kami memiliki:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x2 - 2x + C

Menerapkan kondisi awal:

2 = (3) 2 - 2 (3) + C

C = -1

Anda mendapatkan: f (x) = x2 - 2x - 1

dy / dx = 3x2 - 1 Apa yang terjadi melalui titik (0, 2)

Kami menyatakan persamaan diferensial dengan cara berikut:

dy = ( 3x2 - 1) dx ; kemudian, ketika menerapkan kriteria antiderivasi, kami memiliki:

∫dy = ∫ ( 3x2 - 1) dx

y = x3 - x + C

Menerapkan kondisi awal:

2 = (0) 2 - 2 (0) + C

C = 2

Anda mendapatkan: f (x) = x3 - x + 2

Latihan yang diusulkan

Latihan 1

Temukan primitif f (x) yang memenuhi kondisi awal:

f "(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
f "(x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
f "(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Latihan 2

Balon yang naik dengan kecepatan 16 kaki melepaskan karung pasir dari ketinggian 64 kaki di atas permukaan tanah.

Tentukan waktu penerbangan
Apa yang akan menjadi vektor V _f ketika menyentuh lantai?

Latihan 3

Gambar tersebut menunjukkan grafik waktu akselerasi mobil yang bergerak ke arah positif sumbu x. Mobil itu melaju dengan kecepatan konstan 54 km / jam ketika pengemudi mengerem untuk berhenti dalam 10 detik. Tentukan: