Transformasi Fourier Diskrit: properti, aplikasi, dan contoh
Transformasi Fourier diskrit adalah metode numerik yang digunakan untuk menentukan sampel yang merujuk pada frekuensi spektral yang membentuk sinyal. Mempelajari fungsi periodik dalam parameter tertutup, menghasilkan sinyal diskrit lain.
Untuk mendapatkan transformasi Fourier diskrit dari titik N, pada sinyal diskrit, 2 kondisi berikut harus dipenuhi pada urutan x [n]
x [n] = 0 n N - 1
Dengan memenuhi kondisi ini, transformasi Fourier diskrit dapat didefinisikan sebagai
Transformasi Fourier diskrit dapat didefinisikan sebagai sampel pada titik N dari transformasi Fourier.
Interpretasi dari transformasi Fourier diskrit
Ada 2 sudut pandang dari mana Anda dapat menafsirkan hasil yang diperoleh pada urutan x s [n] melalui transformasi Fourier diskrit.
-Pertama sesuai dengan koefisien spektral, sudah diketahui dari deret Fourier. Ini diamati dalam sinyal periodik diskrit, dengan sampel bertepatan dengan urutan x s [n].
- Penawaran kedua dengan spektrum sinyal aperiodik diskrit, dengan sampel yang sesuai dengan urutan x s [n].
Transformasi diskrit adalah perkiraan terhadap spektrum sinyal analog asli. Fase tergantung pada waktu pengambilan sampel, sedangkan besarnya tergantung pada interval pengambilan sampel.
Properti
Fondasi aljabar struktur membentuk dasar logis dari bagian berikut.
Linearitas
C. S n → C. F [ S k ]; Jika suatu urutan dikalikan dengan skalar, transformasinya juga akan menjadi.
T n + V n = F [T k ] + F [V k ]; Transformasi jumlah sama dengan jumlah transformasi.
Dualitas
F [S n ] → (1 / N) S -k; Jika ekspresi yang diubah dihitung ulang oleh transformasi Fourier diskrit, ekspresi yang sama diperoleh, penskalaan dalam N dan terbalik sehubungan dengan sumbu vertikal.
Konvolusi
Mengikuti tujuan serupa yang dalam transformasi Laplace, konvolusi fungsi merujuk pada produk di antara transformasi Fouriernya. Konvolusi juga berlaku untuk waktu diskrit dan bertanggung jawab atas banyak prosedur modern.
X n * R n → F [X n ] .F [R n ]; Transformasi konvolusi sama dengan produk transformasi.
X n . R n → F [X n ] * F [R n ]; Transformasi suatu produk sama dengan konvolusi transformasi.
Perpindahan
X nm → F [X k ] e-i (2π / N) km; Jika urutan tertunda dalam sampel m, efeknya pada transformasi diskrit akan menjadi modifikasi sudut yang ditentukan oleh (2π / N) km.
Simetri terkonjugasi
X t [-k] = X * t [k] = X t [N - K]
Modulasi
W-nm N. x [n] ↔ X t [k - m]
Produk
x [n] dan [n] ↔ (1 / N) X t [k] * Y t [k]
Simetri
X [-n] ↔ X t [-k] = X * t [k]
Konjugasi
x * [n] ↔ X * t [-k]
Persamaan Parseval
Persamaan dan perbedaan dengan transformasi Fourier
Sehubungan dengan transformasi Fourier konvensional, ia memiliki beberapa kesamaan dan perbedaan. Transformasi Fourier mengubah urutan menjadi garis kontinu. Dengan cara ini dikatakan bahwa hasil dari variabel Fourier adalah fungsi kompleks dari variabel nyata.
Sebaliknya, transformasi Fourier diskrit menerima sinyal diskrit dan mengubahnya menjadi sinyal diskrit lain, yaitu urutan.
Untuk apa transformasi Fourier itu?
Mereka melayani terutama untuk sangat menyederhanakan persamaan, sambil mengubah ekspresi turunan menjadi elemen daya. Menunjukkan ekspresi diferensial dalam bentuk polinomial yang dapat diintegrasikan.
Dalam optimasi, modulasi dan pemodelan hasil bertindak sebagai ekspresi standar, menjadi sumber daya yang sering digunakan untuk rekayasa setelah beberapa generasi.
Sejarah
Konsep matematika ini disajikan oleh Joseph B. Fourier pada tahun 1811, sambil mengembangkan risalah tentang penyebaran panas. Dengan cepat diadopsi oleh berbagai cabang ilmu pengetahuan dan teknik.
Itu didirikan sebagai alat kerja utama dalam studi persamaan diferensial parsial, bahkan membandingkan dengan hubungan kerja antara Transformasi Laplace dan persamaan diferensial biasa.
Setiap fungsi yang dapat dikerjakan dengan transformasi Fourier harus memiliki nullity di luar parameter yang ditentukan.
Transformasi Fourier diskrit dan kebalikannya
Transformasi diskrit diperoleh melalui ekspresi:
Setelah diberi urutan diskrit X [n]
Kebalikan dari transformasi Fourier diskrit didefinisikan oleh ekspresi:
Setelah transformasi diskrit tercapai, tentukan urutan dalam domain waktu X [n].
Terang
Proses parameterisasi yang sesuai dengan transformasi Fourier diskrit terletak pada windowing. Untuk mengerjakan transformasi, kita harus membatasi urutan waktu. Dalam banyak kasus, sinyal yang dipermasalahkan tidak memiliki batasan seperti itu.
Urutan yang tidak memenuhi kriteria ukuran untuk diterapkan pada transformasi diskrit dapat dikalikan dengan fungsi "jendela" V [n], yang mendefinisikan perilaku urutan dalam parameter yang dikontrol.
X [n] V [n]
Lebar spektrum akan tergantung pada lebar jendela. Saat lebar jendela bertambah, transformasi yang dihitung akan lebih sempit.
Aplikasi
Perhitungan solusi mendasar
Transformasi Fourier diskrit adalah alat yang kuat dalam studi urutan diskrit.
Transformasi Fourier diskrit mengubah fungsi variabel kontinu menjadi transformasi variabel diskrit.
Masalah Cauchy untuk persamaan panas menyajikan bidang umum penerapan transformasi Fourier diskrit . Di mana fungsi panas inti atau inti Dirichlet dihasilkan , yang berlaku untuk nilai sampel dalam parameter yang ditentukan.
Teori sinyal
Alasan umum untuk penerapan transformasi Fourier diskrit di cabang ini sebagian besar disebabkan oleh dekomposisi karakteristik sinyal sebagai superposisi tak terbatas dari sinyal yang lebih mudah diobati.
Ini bisa berupa gelombang suara atau gelombang elektromagnetik, transformasi Fourier diskrit mengekspresikannya dalam superposisi gelombang sederhana. Representasi ini cukup sering dalam teknik listrik.
Seri Fourier
Mereka adalah seri yang didefinisikan dalam hal Cosinus dan Payudara. Mereka berfungsi untuk memfasilitasi pekerjaan dengan fungsi periodik umum. Ketika diterapkan, mereka adalah bagian dari teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial dan biasa.
Seri Fourier bahkan lebih umum daripada seri Taylor, karena mereka mengembangkan fungsi diskontinyu berkala yang tidak memiliki representasi dalam seri Taylor.
Bentuk lain dari seri Fourier
Untuk memahami transformasi Fourier secara analitis, penting untuk meninjau cara-cara lain di mana deret Fourier dapat ditemukan, sampai kita dapat mendefinisikan deret Fourier dalam notasi kompleksnya.
- Seri Fourier pada fungsi periode 2L:
Berkali-kali perlu untuk mengadaptasi struktur deret Fourier, ke fungsi periodik yang periodenya p = 2L> 0 dalam interval [-L, L].
- Seri Fourier dalam fungsi ganjil dan genap
Interval [-π, π] dipertimbangkan, yang menawarkan keuntungan ketika mengambil keuntungan dari karakteristik simetris fungsi.
Jika f adalah genap, seri Fourier ditetapkan sebagai seri Cosines.
Jika f aneh, seri Fourier ditetapkan sebagai serangkaian Sines.
- Notasi lengkap dari seri Fourier
Jika Anda memiliki fungsi f (t), yang memenuhi semua persyaratan seri Fourier, dimungkinkan untuk menyatakannya dalam interval [-t, t] menggunakan notasi kompleksnya:
Contohnya
Sehubungan dengan perhitungan solusi mendasar, contoh-contoh berikut disajikan:
Persamaan Laplace
Persamaan panas
Persamaan Schrödinger
Persamaan gelombang
Di sisi lain, adalah contoh penerapan transformasi Fourier diskrit di bidang teori sinyal berikut ini:
-Masalah identifikasi sistem. FYG mapan
-Masalah dengan konsistensi sinyal output
-Masalah dengan penyaringan sinyal
Latihan
Latihan 1
Hitung transformasi Fourier diskrit untuk urutan berikutnya.
Anda dapat mendefinisikan TDF x [n] sebagai:
X t [k] = {4, -j2, 0, j2} untuk k = 0, 1, 2, 3
Latihan 2
Kami ingin menentukan, melalui algoritma digital, sinyal spektral yang didefinisikan oleh ekspresi x (t) = et. Dimana koefisien permintaan frekuensi maksimum adalah fm = 1Hz. Harmonis berhubungan dengan f = 0, 3 Hz. Kesalahan dibatasi hingga kurang dari 5%. Hitung fs, D dan N.
Dengan mempertimbangkan teorema pengambilan sampel f s = 2f m = 2 Hz
Resolusi frekuensi f 0 = 0, 1 Hz dipilih , dari mana kita memperoleh D = 1 / 0, 1 = 10s
0, 3 Hz adalah frekuensi yang sesuai dengan indeks k = 3, di mana N = 3 × 8 = 24 sampel. Menunjukkan bahwa f s = N / D = 24/10 = 2.4> 2
Karena tujuannya adalah untuk mencapai nilai serendah mungkin untuk N, nilai-nilai berikut dapat dianggap sebagai solusi:
f 0 = 0, 3 Hz
D = 1 / 0.3 = 3.33s
k = 1
N = 1 × 8 = 8
