Transformasi Fourier: properti, aplikasi, contoh dan latihan

Transformasi Fourier adalah metode adaptasi analitik yang berorientasi pada fungsi-fungsi yang dapat dipadukan yang termasuk dalam keluarga transformasi terintegrasi . Ini terdiri dari redefinisi fungsi f (t) dalam hal Cos (t) dan Sen (t).

Identitas trigonometri dari fungsi-fungsi ini, bersama dengan derivasi dan karakteristik antiderivasinya, berfungsi untuk mendefinisikan transformasi Fourier melalui fungsi kompleks berikut:

Ini benar selama ungkapan itu masuk akal, yaitu, ketika integral yang tidak tepat adalah konvergen. Secara aljabar dikatakan bahwa transformasi Fourier adalah homeomorfisme linier.

Setiap fungsi yang dapat dikerjakan dengan transformasi Fourier harus memiliki nullity di luar parameter yang ditentukan.

Properti

Transformasi Fourier sesuai dengan properti berikut:

Keberadaan

Untuk memverifikasi keberadaan transformasi Fourier dalam fungsi f (t) yang didefinisikan dalam real R, 2 aksioma berikut harus dipenuhi:

f (t) kontinu menjadi potongan untuk semua R
f (t) terintegrasi dalam R

Linearitas transformasi Fourier

Misalkan M (t) dan N (t) adalah dua fungsi dengan transformasi Fourier yang didefinisikan, dengan konstanta a dan b, apa saja.

F [a M (t) + b N (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)

Yang juga didasarkan pada linearitas integral dari nama yang sama.

Transformasi Fourier dari turunan

Kami memiliki fungsi f yang kontinu dan terintegrasi di semua real, di mana:

Dan turunan dari f (f ') kontinu dan didefinisikan dalam potongan sepanjang R

Transformasi Fourier dari turunan ditentukan oleh integrasi oleh bagian-bagian, dengan ekspresi berikut:

F [f '(t)] (z) = iz F [f (t)] (z)

Dalam derivasi tingkat tinggi, itu akan diterapkan secara homolog, di mana untuk semua n 1 Anda harus:

F [f n '(t)] (z) = (iz) n F [f (t)] (z)

Diferensiasi transformasi Fourier

Kami memiliki fungsi f yang kontinu dan terintegrasi di semua real, di mana:

i (d / dz) F [f (t)] (z) = F [t. f (t)] (z)

Transformasi Fourier dari terjemahan

Untuk semua θ yang dimiliki oleh himpunan S dan T yang dimiliki oleh himpunan S ', harus:

F [ τ _a θ] = e-iay F [ θ] F [ τ _a T ] = e-iax F [ T]

Dengan τ _yang berfungsi sebagai operator terjemahan pada vektor a.

Terjemahan dari transformasi Fourier

Untuk semua θ yang dimiliki oleh himpunan S dan T yang dimiliki oleh himpunan S ', harus:

τ _a F [θ] = F [e-iax . θ] τ _a F [T ] = F [e-iay . T]

Untuk semua milik R

Transformasi Fourier dari kelompok skala

Untuk semua θ yang dimiliki oleh himpunan S. T yang milik himpunan S '

λ milik R - {0} Anda harus:

F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] ( y / λ )

F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (y / λ )

Jika f adalah fungsi kontinu dan jelas-jelas dapat diintegrasikan, di mana a> 0. Lalu:

F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)

Untuk menunjukkan hasil ini, Anda dapat melanjutkan dengan perubahan variabel.

Ketika T → + lalu s = at → + ∞

Ketika T → - lalu s = di → - ∞

Simetri

Untuk mempelajari simetri transformasi Fourier, identitas Parseval dan rumus Plancherel harus diverifikasi.

Kami memiliki θ dan δ milik S. Dari sana dapat disimpulkan bahwa:

Memperoleh

1 / (2π) d { F [θ ], F [δ ] } Identitas Parseval

1 / (2π) d / 2 || F [θ ] || Formula _L 2 Rd dari Plancherel

Transformasi Fourier suatu produk dalam konvolusi

Mengikuti tujuan serupa yang dalam transformasi Laplace, konvolusi fungsi merujuk pada produk di antara transformasi Fouriernya.

Kami memiliki f dan g sebagai 2 fungsi yang dibatasi, didefinisikan, dan sepenuhnya terintegrasi:

F (f * g) = F (f). F (g)

Lalu ketika mengubah variabel

t + s = x; berlanjut dengan integral ganda yang tidak tepat

F (f). F (g) = F (f. G)

Kontinuitas dan jatuh tak terhingga

Untuk semua θ milik R, F [ θ] mematuhi kriteria fungsi kontinu yang dibatasi dalam Rd.

Juga { F [ θ] (y)} → 0 dalam C jika | y | → ∞

Sejarah

Konsep matematika ini disajikan oleh Joseph B. Fourier pada tahun 1811 sambil mengembangkan sebuah risalah tentang perambatan panas. Dengan cepat diadopsi oleh berbagai cabang ilmu pengetahuan dan teknik.

Itu didirikan sebagai alat kerja utama dalam studi persamaan diferensial parsial, bahkan membandingkan dengan hubungan kerja antara Transformasi Laplace dan persamaan diferensial biasa.

Untuk apa transformasi Fourier digunakan?

Ini terutama berfungsi untuk menyederhanakan persamaan jauh, sambil mengubah ekspresi turunan menjadi elemen daya, yang menunjukkan ekspresi diferensial dalam bentuk polinomial yang dapat diintegrasikan.

Dalam optimasi, modulasi dan pemodelan hasil bertindak sebagai ekspresi standar, menjadi sumber daya yang sering digunakan untuk rekayasa setelah beberapa generasi.

Seri Fourier

Mereka adalah seri yang didefinisikan dalam hal Cosinus dan Payudara; mereka berfungsi untuk memfasilitasi pekerjaan dengan fungsi periodik umum. Ketika diterapkan, mereka adalah bagian dari teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial dan biasa.

Seri Fourier bahkan lebih umum daripada seri Taylor, karena mereka mengembangkan fungsi diskontinyu berkala yang tidak memiliki representasi dalam seri Taylor.

Bentuk lain dari seri Fourier

Untuk memahami transformasi Fourier secara analitis, penting untuk meninjau bentuk-bentuk lain di mana deret Fourier dapat ditemukan, sampai kita dapat mendefinisikan deret Fourier dalam notasi kompleksnya.

- Seri Fourier pada fungsi periode 2L

Berkali-kali perlu untuk mengadaptasi struktur deret Fourier, ke fungsi periodik yang periodenya p = 2L> 0 dalam interval [-L, L].

- Seri Fourier dalam fungsi ganjil dan genap

Interval [-π, π] dipertimbangkan, yang menawarkan keuntungan ketika mengambil keuntungan dari karakteristik simetris fungsi.

Jika f adalah genap, seri Fourier ditetapkan sebagai seri Cosines.

Jika f aneh, seri Fourier ditetapkan sebagai serangkaian Sines.

- Notasi lengkap dari seri Fourier

Jika kita memiliki fungsi f (t), yang memenuhi semua persyaratan untuk pengembangan deret Fourier, dimungkinkan untuk menyatakannya dalam interval [-t, t] menggunakan notasi kompleksnya:

Aplikasi

Perhitungan solusi mendasar

Transformasi Fourier adalah alat yang kuat dalam studi persamaan diferensial parsial dari tipe linier dengan koefisien konstan. Mereka berlaku untuk fungsi dengan domain tidak terbatas yang sama.

Seperti Transformasi Laplace, Transformasi Fourier mentransformasikan fungsi turunan parsial menjadi persamaan diferensial biasa yang jauh lebih mudah dioperasikan.

Masalah Cauchy untuk persamaan panas menyajikan bidang aplikasi yang sering dari transformasi Fourier di mana fungsi panas inti atau Dirichlet inti dihasilkan .

Sehubungan dengan perhitungan solusi mendasar, kasus-kasus berikut ini disajikan di mana umum untuk menemukan transformasi Fourier:

-Equation of Laplace

-Perbaikan panas

-Equity of Schrödinger

-Equation of wave

Teori sinyal

Alasan umum untuk penerapan transformasi Fourier di cabang ini terutama karena dekomposisi karakteristik sinyal sebagai superposisi tak terbatas dari sinyal yang lebih mudah diobati.

Ini bisa berupa gelombang suara atau gelombang elektromagnetik, transformasi Fourier mengekspresikannya dalam superposisi gelombang sederhana. Representasi ini cukup sering dalam teknik listrik.

Di sisi lain, ada contoh penerapan transformasi Fourier di bidang teori sinyal:

-Masalah identifikasi sistem. FYG mapan

-Masalah dengan konsistensi sinyal output

-Masalah dengan penyaringan sinyal