Teorema Green, demonstrasi, aplikasi dan latihan diselesaikan

Teorema Green adalah metode perhitungan yang digunakan untuk menghubungkan garis integral dengan luas ganda atau permukaan integral. Fungsi yang terlibat harus dilambangkan sebagai bidang vektor dan didefinisikan dalam lintasan C.

Misalnya, ekspresi garis integral bisa sangat rumit untuk dipecahkan; Namun, dengan menerapkan teorema Green, integral ganda menjadi sangat mendasar. Selalu penting untuk menghormati arah positif lintasan, ini mengacu pada arah berlawanan arah jarum jam.

Teorema Green adalah kasus khusus teorema Stokes, di mana proyeksi fungsi vektor dilakukan dalam bidang xy.

Definisi

Ungkapan Teorema Green adalah sebagai berikut:

Dalam istilah pertama, garis integral didefinisikan oleh jalur "C" dari produk skalar antara fungsi vektor "F" dan bahwa dari vektor "r" diamati.

C: Ini adalah jalur yang ditentukan di mana fungsi vektor akan diproyeksikan selama itu didefinisikan untuk bidang itu.

F: Fungsi vektor, di mana masing-masing komponennya didefinisikan oleh fungsi seperti itu (f, g).

A: Ini adalah garis singgung vektor ke daerah R di mana integral didefinisikan. Dalam hal ini kami beroperasi dengan diferensial dari vektor ini.

Dalam istilah kedua kita melihat teorema Green dikembangkan, di mana kita mengamati integral ganda yang didefinisikan dalam wilayah R dari perbedaan turunan parsial gyf, sehubungan dengan masing-masing kapak dan y. Untuk diferensial area yang tidak lebih dari produk diferensial dua dimensi (dx.dy).

Teorema ini sangat cocok untuk ruang dan permukaan integral.

Demonstrasi

Untuk menunjukkan teorema Green dengan cara yang sederhana, tugas ini akan dipecah menjadi 2 bagian. Pertama kita akan mengasumsikan bahwa fungsi vektor F hanya memiliki definisi dalam verso i. Sementara fungsi "g" yang sesuai dengan versor j akan sama dengan nol.

F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0

r = x i + y j

dr = dx i + dy j

Pertama, kami mengembangkan garis yang tidak terpisahkan di atas lintasan C, yang lintasannya telah dibagi dalam 2 bagian, pertama dari a ke b dan kemudian dari b ke a.

Definisi teorema dasar perhitungan untuk suatu integral didefinisikan diterapkan.

Ekspresi disusun ulang dalam satu integral tunggal, menjadi faktor umum ke negatif dan urutan faktor terbalik.

Ketika mengamati ungkapan ini secara terperinci, menjadi jelas bahwa ketika menerapkan kriteria fungsi primitif, seseorang berada di hadapan integral dari ekspresi turunan dari f sehubungan dengan y. Dievaluasi dalam parameter

Sekarang sudah cukup untuk menganggap bahwa fungsi vektor F didefinisikan hanya untuk g (x, y) j . Di mana harus beroperasi dengan cara yang mirip dengan kasus sebelumnya, Anda mendapatkan:

Untuk menyelesaikan, ambil 2 demonstrasi dan bergabung dalam kasus di mana fungsi vektor mengambil nilai untuk kedua versor. Dengan cara ini ditampilkan sebagai garis integral setelah didefinisikan dan dianggap sebagai lintasan satu dimensi, dapat dikembangkan sepenuhnya untuk bidang dan ruang.

F = f (x, y) i + g (x, y) j

Dengan cara ini, teorema Green terbukti.

Aplikasi

Aplikasi teorema Green sangat luas di cabang fisika dan matematika. Ini meluas ke aplikasi atau penggunaan apa pun yang dapat diberikan ke integrasi lini.

Pekerjaan mekanis yang dilakukan oleh gaya F melalui lintasan C, dapat dikembangkan oleh garis integral yang dinyatakan sebagai integral ganda dari suatu area dengan menggunakan teorema Green.

Momen inersia dari banyak badan yang mengalami kekuatan eksternal pada titik aplikasi yang berbeda juga merespon garis integral yang dapat dikembangkan dengan teorema Green.

Ini memiliki beberapa fungsi dalam studi resistensi bahan yang digunakan. Di mana nilai-nilai eksternal dapat dikuantifikasi dan diperhitungkan sebelum pengembangan berbagai elemen.

Secara umum, teorema Green memfasilitasi pemahaman dan definisi area di mana fungsi vektor didefinisikan sehubungan dengan suatu wilayah sesuai dengan lintasan.

Sejarah

Itu diterbitkan pada tahun 1828 dalam analisis matematika karya teori-teori listrik dan magnet, yang ditulis oleh ahli matematika Inggris George Green. Ini mengeksplorasi bagian-bagian yang sangat menentukan dalam penerapan kalkulus dalam fisika, seperti konsep fungsi potensial, fungsi Green dan aplikasi teorema berjudul diri.

George Green memformalkan karir muridnya pada usia 40, menjadi ahli matematika sepenuhnya otodidak sampai sekarang. Setelah belajar di Universitas Cambridge melanjutkan penelitiannya, memberikan kontribusi di bidang akustik, optik, dan hidrodinamika yang masih berlaku sampai sekarang.

Hubungan dengan teorema lain

Teorema Green adalah kasus khusus, dan muncul dari dua teorema lain yang sangat penting dalam cabang perhitungan. Ini adalah teorema Kelvin-Stokes dan divergensi atau teorema Gauss Ostrogradski.

Mulai dari salah satu teorema ini, seseorang dapat tiba di teorema Green. Definisi dan proposisi tertentu diperlukan untuk mengembangkan demonstrasi tersebut.

Latihan

- Latihan berikut menunjukkan cara mengubah integral garis menjadi integral ganda sehubungan dengan wilayah R.

Ekspresi asli adalah sebagai berikut:

Di mana fungsi yang sesuai diambil afyg

f (x, y) = x3 g (x, y) = yx

df / dy = 0 dg / dx = y

Tidak ada cara unik untuk mendefinisikan batas-batas integrasi ketika menerapkan teorema Green. Tetapi ada beberapa cara di mana integral setelah didefinisikan dapat lebih sederhana. Sedemikian rupa sehingga optimalisasi batas integrasi perlu mendapat perhatian.

Di mana untuk memecahkan integral yang kita dapatkan:

Nilai ini sesuai dalam satuan kubik dengan wilayah di bawah fungsi vektor dan pada wilayah segitiga yang ditentukan oleh C.

Untuk kasus integral garis tanpa melakukan metode Hijau, akan perlu untuk parameterisasi fungsi di setiap bagian wilayah. Yaitu, lakukan 3 integral parameter untuk resolusi. Ini adalah bukti yang cukup tentang keefektifan yang dibawa Robert Green dengan teorema ke kalkulus.