Anjak piutang: Metode dan Contoh

Factorisasi adalah metode yang melaluinya polinomial dinyatakan dalam bentuk penggandaan faktor, yang bisa berupa angka, huruf, atau keduanya. Untuk memfaktorkan faktor-faktor yang umum pada istilah dikelompokkan, dan dengan cara ini polinomial diuraikan menjadi beberapa polinomial.

Dengan demikian, ketika faktor-faktor saling mengalikan, hasilnya adalah polinomial asli. Anjak piutang adalah metode yang sangat berguna ketika Anda memiliki ekspresi aljabar, karena dapat diubah menjadi penggandaan beberapa istilah sederhana; misalnya: 2a2 + 2ab = 2a _* (a + b).

Ada kasus di mana polinomial tidak dapat difaktorkan karena tidak ada faktor umum di antara istilah-istilahnya; dengan demikian, ekspresi aljabar ini hanya dapat dibagi antara mereka sendiri dan oleh 1. Sebagai contoh: x + y + z.

Dalam ekspresi aljabar, faktor umum adalah pembagi umum terbesar dari istilah yang menyusunnya.

Metode anjak piutang

Ada beberapa metode anjak piutang, yang diterapkan tergantung pada kasusnya. Beberapa di antaranya adalah sebagai berikut:

Anjak piutang berdasarkan faktor umum

Dalam metode ini, faktor-faktor yang umum diidentifikasi; yaitu, mereka yang diulang dalam istilah ungkapan. Kemudian properti distributif diterapkan, pembagi umum maksimum dihapus dan faktorisasi selesai.

Dengan kata lain, faktor umum dari ekspresi diidentifikasi dan setiap istilah dibagi di antara itu; istilah yang dihasilkan akan dikalikan dengan faktor umum terbesar untuk mengekspresikan faktorisasi.

Contoh 1

Faktor (b2x) + (b2y).

Solusi

Pertama kita menemukan faktor umum dari setiap istilah, yang dalam hal ini adalah b2, dan kemudian membagi istilah antara faktor umum sebagai berikut:

(b2x) / b2 = x

(b2y) / b2 = y.

Faktorisasi dinyatakan, mengalikan faktor umum dengan istilah yang dihasilkan:

(b2x) + (b2y) = b2 (x + y).

Contoh 2

Faktor (2a2b3) + (3ab2).

Solusi

Dalam hal ini kita memiliki dua faktor yang diulang dalam setiap istilah yaitu "a" dan "b", dan yang dinaikkan menjadi kekuatan. Untuk memperhitungkannya, pertama-tama kedua istilah tersebut dipecah menjadi bentuk panjang:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Dapat diamati bahwa faktor "a" diulang hanya sekali dalam suku kedua, dan faktor "b" diulangi dua kali di dalamnya; jadi pada suku pertama hanya ada 2, faktor "a" dan a "b"; sementara pada periode kedua hanya 3 yang tersisa.

Oleh karena itu, kami menulis waktu bahwa "a" dan "b" diulang dan dikalikan dengan faktor-faktor yang tersisa dari setiap istilah, seperti yang terlihat pada gambar:

Faktorisasi dengan pengelompokan

Karena tidak dalam semua kasus, pembagi umum maksimum polinomial dinyatakan dengan jelas, perlu untuk mengambil langkah-langkah lain untuk dapat menulis ulang polinomial dan dengan demikian faktor.

Salah satu langkah ini adalah mengelompokkan istilah polinomial menjadi beberapa kelompok, dan kemudian menggunakan metode faktor umum.

Contoh 1

Faktor ac + bc + iklan + bd.

Solusi

Ada 4 faktor di mana dua adalah umum: dalam istilah pertama itu adalah «c» dan yang kedua adalah «d». Dengan cara ini kedua istilah dikelompokkan dan dipisahkan:

(ac + bc) + (ad + bd).

Sekarang dimungkinkan untuk menerapkan metode faktor umum, membagi setiap istilah dengan faktor umum dan kemudian mengalikan faktor umum tersebut dengan istilah yang dihasilkan, seperti ini:

(ac + bc) / c = a + b

(iklan + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Sekarang Anda mendapatkan binomial yang umum untuk kedua istilah. Untuk faktor itu dikalikan dengan faktor yang tersisa; dengan begitu Anda harus:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Faktorisasi dengan inspeksi

Metode ini digunakan untuk faktor polinomial kuadrat, juga disebut trinomial; yaitu, yang terstruktur sebagai ax2 ± bx + c, di mana nilai "a" berbeda dari 1. Metode ini juga digunakan ketika trinomial memiliki bentuk x2 ± bx + c dan nilai "a" = 1 .

Contoh 1

Faktor x2 + 5x + 6.

Solusi

Kami memiliki trinomial kuadratik dari bentuk x2 ± bx + c. Untuk memfaktorkannya terlebih dahulu, Anda harus menemukan dua angka yang, ketika dikalikan, berikan nilai dari «c» (yaitu, 6) dan bahwa jumlahnya sama dengan koefisien «b», yaitu 5. Angka-angka itu adalah 2 dan 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Dengan cara ini, ungkapan disederhanakan seperti ini:

(x2 + 2x) + (3x + 6)

Setiap istilah diperhitungkan:

- Untuk (x2 + 2x) istilah umum diekstraksi: x (x + 2)

- Untuk (3x + 6) = 3 (x + 2)

Jadi, ungkapan itu tetap:

x (x +2) + 3 (x +2).

Karena Anda memiliki binomial yang sama, untuk mengurangi ekspresi, kalikan ini dengan istilah surplus dan Anda harus:

x2 + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Contoh 2

Faktor 4a2 + 12a + 9 = 0.

Solusi

Kami memiliki trinomial kuadratik dari bentuk ax2 ± bx + c dan untuk memfaktisasi, kami mengalikan semua ekspresi dengan koefisien x2; dalam hal ini, 4.

4a2 + 12a +9 = 0

4a2 (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a2 + 12a (4) + 36 = 0

42 a2 + 12a (4) + 36 = 0

Sekarang kita harus menemukan dua angka yang, ketika mereka saling mengalikan, memberikan nilai "c" (yaitu 36) dan ketika ditambahkan bersama-sama menghasilkan koefisien dari istilah "a", yaitu 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Dengan cara ini ungkapan ditulis ulang, dengan mempertimbangkan bahwa 42 a2 = 4a _* 4a. Oleh karena itu, properti distributif diterapkan untuk setiap istilah:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Akhirnya, ungkapan dibagi dengan koefisien a2; itu adalah 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Ungkapannya adalah sebagai berikut:

4a2 + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Anjak dengan produk luar biasa

Ada kasus di mana, untuk memfaktorkan sepenuhnya polinomial dengan metode sebelumnya, itu menjadi proses yang sangat panjang.

Itulah sebabnya sebuah ekspresi dapat dikembangkan dengan formula produk yang luar biasa dan dengan demikian prosesnya menjadi lebih sederhana. Di antara produk-produk penting yang paling banyak digunakan adalah:

- Perbedaan dua kotak: (a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

- Kuadrat sempurna dari jumlah: a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

- Kuadrat sempurna dari perbedaan: a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2

- Perbedaan dua kubus: a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

- Jumlah dua kubus: a3 - b3 = (a + b) _* (a2 - ab + b2)

Contoh 1

Memfaktorkan (52 - x2)

Solusi

Dalam hal ini ada perbedaan dua kotak; oleh karena itu, formula produk luar biasa diterapkan:

(a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

(52 - x2) = (5 - x) _* (5 + x)

Contoh 2

Faktor 16x2 + 40x + 252

Solusi

Dalam hal ini kami memiliki kuadrat sempurna dari jumlah, karena kami dapat mengidentifikasi dua suku kuadrat, dan suku sisanya adalah hasil dari mengalikan dua dengan akar kuadrat dari suku pertama, dengan akar kuadrat dari suku kedua.

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

Untuk faktor, hanya akar kuadrat dari suku pertama dan ketiga yang dihitung:

√ (16x2) = 4x

√ (252) = 5.

Kemudian dua istilah yang dihasilkan dipisahkan oleh tanda operasi, dan seluruh polinomial dikuadratkan:

16x2 + 40x + 252 = (4x + 5) 2.

Contoh 3

Faktor 27a3 - b3

Solusi

Ekspresi mewakili pengurangan di mana dua faktor dinaikkan ke kubus. Untuk memfaktorkannya, rumus produk penting dari perbedaan kubus diterapkan, yaitu:

a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

Jadi, untuk membuat faktor, akar kubik dari setiap suku binomial diekstraksi dan dikalikan dengan kuadrat dari suku pertama, ditambah produk dari suku pertama dengan suku kedua, ditambah suku kedua oleh kuadrat.

27a3 - b3

³√ (27a3) = 3a

³√ (-b3) = -b

27a3 - b3 = (3a - b) _* [(3a) 2 + 3ab + b2)]

27a3 - b3 = (3a - b) _* (9a2 + 3ab + b2)

Anjak dengan aturan Ruffini

Metode ini digunakan ketika Anda memiliki polinomial derajat lebih besar dari dua, untuk menyederhanakan ekspresi ke beberapa polinomial derajat lebih rendah.

Contoh 1

Faktor Q (x) = x4 - 9x2 + 4x + 12

Solusi

Pertama mencari angka-angka yang merupakan pembagi dari 12, yang merupakan istilah independen; ini adalah ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 dan ± 12.

Kemudian x digantikan oleh nilai-nilai ini, dari terendah ke tertinggi, dan dengan demikian ditentukan dengan nilai mana dari pembagian yang akan tepat; artinya, sisanya harus 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) 4 - 9 (-1) 2 + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 14 - 9 (1) 2 + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 24 - 9 (2) 2 + 4 (2) + 12 = 0.

Demikian seterusnya untuk masing-masing pembagi. Dalam hal ini, faktor yang ditemukan adalah untuk x = -1 dan x = 2.

Sekarang metode Ruffini diterapkan, yang menurutnya koefisien ekspresi akan dibagi di antara faktor-faktor yang ditemukan untuk pembagian menjadi tepat. Istilah polinom diperintahkan dari eksponen tertinggi ke terendah; dalam hal suatu istilah dengan derajat yang mengikuti urutan hilang, 0 ditempatkan di tempatnya.

Koefisien berada dalam skema seperti yang terlihat pada gambar berikut.

Koefisien pertama diturunkan dan dikalikan dengan pembagi. Dalam hal ini, pembagi pertama adalah -1, dan hasilnya ditempatkan di kolom berikutnya. Kemudian nilai koefisien ditambahkan secara vertikal dengan hasil yang diperoleh dan hasilnya ditempatkan di bawah. Dengan cara ini, proses diulang hingga kolom terakhir.

Kemudian prosedur yang sama diulangi lagi, tetapi dengan pembagi kedua (yaitu 2) karena ekspresi masih dapat disederhanakan.

Jadi, untuk setiap root yang diperoleh, polinomial akan memiliki istilah (x - a), di mana "a" adalah nilai dari root:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Di sisi lain, istilah-istilah ini harus dikalikan dengan sisa aturan Ruffini 1: 1 dan -6, yang merupakan faktor yang mewakili nilai. Dengan cara ini ekspresi yang dibentuk adalah: (x2 + x - 6).

Memperoleh hasil dari faktorisasi polinomial dengan metode Ruffini adalah:

x4 - 9x2 + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x2 + x - 6)

Untuk menyelesaikan, polinomial derajat 2 yang muncul dalam ekspresi sebelumnya dapat ditulis ulang sebagai (x + 3) (x-2). Oleh karena itu, faktorisasi terakhir adalah:

x4 - 9x2 + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).