Teorema Euclid: Formula, Demonstrasi, Aplikasi dan Latihan
Teorema Euclid menunjukkan sifat-sifat segitiga siku-siku dengan menggambar garis yang membaginya menjadi dua segitiga siku-siku baru yang mirip satu sama lain dan, pada gilirannya, mirip dengan segitiga asli; maka, ada hubungan proporsionalitas.
Euclid adalah salah satu ahli matematika dan geometer terhebat zaman kuno yang membuat beberapa demonstrasi teorema penting. Salah satu yang utama adalah yang menyandang namanya, yang telah memiliki aplikasi luas.
Ini telah terjadi karena, melalui teorema ini, ia menjelaskan dengan cara sederhana hubungan geometris yang ada di segitiga siku-siku, di mana kaki-kaki ini terkait dengan proyeksi mereka di sisi miring.
Formula dan demonstrasi
Teorema Euclid mengusulkan bahwa dalam setiap segitiga siku-siku, ketika sebuah garis digambar - yang mewakili ketinggian yang sesuai dengan sudut sudut kanan sehubungan dengan sisi miring - dua segitiga siku-siku terbentuk dari aslinya.
Segitiga ini akan mirip satu sama lain dan juga akan mirip dengan segitiga asli, yang berarti bahwa sisi yang sama sebanding satu sama lain:
Sudut tiga segitiga kongruen; artinya, ketika diputar hingga 180 derajat pada verteksnya, sebuah sudut bertepatan di sisi lain. Ini menyiratkan bahwa semua orang akan sama.
Dengan cara ini Anda juga dapat memverifikasi kesamaan yang ada di antara tiga segitiga, dengan persamaan sudut mereka. Dari kesamaan segitiga, Euclid menetapkan proporsi ini dari dua teorema:
- Teorema ketinggian.
- Teorema kaki.
Teorema ini memiliki aplikasi yang luas. Dalam Antiquity itu digunakan untuk menghitung ketinggian atau jarak, merupakan kemajuan besar untuk trigonometri.
Saat ini diterapkan di beberapa bidang yang didasarkan pada matematika, seperti teknik, fisika, kimia dan astronomi, di antara banyak bidang lainnya.
Teorema tinggi
Teorema ini menyatakan bahwa dalam segitiga siku-siku apa pun, ketinggian yang ditarik dari sudut kanan sehubungan dengan sisi miring adalah rata-rata proporsional geometris (kuadrat tinggi) antara proyeksi kaki yang menentukan sisi miring.
Artinya, kuadrat tinggi akan sama dengan perkalian dari kaki yang diproyeksikan yang membentuk sisi miring:
h c 2 = m * n
Demonstrasi
Diberikan segitiga ABC, yang merupakan persegi panjang di puncak C, ketika merencanakan ketinggian dua segitiga siku-siku yang sama, ADC dan BCD, dihasilkan; oleh karena itu, sisi terkaitnya proporsional:
Sehingga ketinggian hc yang sesuai dengan segmen CD, sesuai dengan sisi miring AB = c, jadi kita harus:
Pada gilirannya, ini sesuai dengan:
Membersihkan sisi miring (h c ), untuk melipatgandakan kedua anggota kesetaraan, Anda harus:
h c * h c = m * n
h c 2 = m * n
Dengan demikian, nilai dari sisi miring diberikan oleh:
Teorema kaki
Teorema ini menyatakan bahwa, dalam segitiga siku-siku apa pun, ukuran setiap kaki akan menjadi rata-rata proporsional geometris (kuadrat dari setiap kaki) antara pengukuran sisi miring (lengkap) dan proyeksi masing-masingnya:
b2 = c * m
a2 = c * n
Demonstrasi
Diberikan segitiga ABC, yang merupakan persegi panjang di puncak C, sedemikian rupa sehingga sisi miringnya adalah c, ketika merencanakan tinggi (h), proyeksi kaki a dan b, yang merupakan segmen m dan n masing-masing, ditentukan. sisi miring.
Dengan demikian, kita memiliki bahwa ketinggian yang digambar pada segitiga siku-siku ABC menghasilkan dua segitiga siku-siku yang sama, ADC dan BCD, sehingga sisi yang sesuai proporsional, seperti ini:
DB = n, yang merupakan proyeksi dari kaki CB pada sisi miring.
AD = m, yang merupakan proyeksi dari AC cathetus pada sisi miring.
Kemudian, sisi miring c ditentukan oleh jumlah kaki dari proyeksi:
c = m + n
Karena kesamaan dari segitiga ADC dan BCD, kita harus:
Di atas sama dengan:
Dengan membersihkan kaki "a" untuk melipatgandakan kedua anggota kesetaraan, kita harus:
a * a = c * n
a2 = c * n
Dengan demikian, nilai kaki "a" diberikan oleh:
Demikian pula, dengan kesamaan segitiga ACB dan ADC, kita harus:
Di atas sama dengan:
Dengan membersihkan kaki "b" untuk melipatgandakan dua anggota kesetaraan, kita harus:
b * b = c * m
b2 = c * m
Dengan demikian, nilai kaki "b" diberikan oleh:
Hubungan antara teorema Euclid
Teorema dengan mengacu pada tinggi dan kaki terkait satu sama lain karena pengukuran keduanya dilakukan sehubungan dengan sisi miring dari segitiga siku-siku.
Melalui hubungan teorema Euclid nilai ketinggian juga dapat ditemukan; itu dimungkinkan dengan membersihkan nilai-nilai m dan n dari teorema kaki dan menggantinya dalam teorema tinggi. Dengan cara ini, tingginya sama dengan multiplikasi kaki, dibagi dengan sisi miring:
b2 = c * m
m = b2 ÷ c
a2 = c * n
n = a2 ÷ c
Dalam teorema ketinggian, myn diganti:
h c 2 = m * n
h c 2 = (b2 ÷ c) * (a2 ÷ c)
h c = (b2 * a2) ÷ c
Latihan yang diselesaikan
Contoh 1
Dengan segitiga ABC, persegi panjang dalam A, tentukan ukuran AC dan AD, jika AB = 30 cm dan BD = 18 cm
Solusi
Dalam hal ini kita memiliki pengukuran salah satu kaki yang diproyeksikan (BD) dan salah satu kaki dari segitiga asli (AB). Dengan cara ini, teorema kaki dapat diterapkan untuk menemukan nilai kaki BC.
AB2 = BD * SM
(30) 2 = 18 * SM
900 = 18 * SM
BC = 900 ÷ 18
BC = 50 cm
Nilai CD cathetus dapat ditemukan mengetahui bahwa BC = 50:
CD = BC - BD
CD = 50 - 18 = 32 cm
Sekarang adalah mungkin untuk menentukan nilai AC cathetus, menerapkan kembali teorema kaki:
AC2 = CD * BD
AC2 = 32 * 50
AC2 = 160
AC = √1600 = 40 cm
Untuk menentukan nilai ketinggian (AD) teorema tinggi diterapkan, karena nilai proyeksi kaki dan CD diketahui:
AD2 = 32 * 18
AD2 = 576
AD = √576
AD = 24 cm
Contoh 2
Tentukan nilai tinggi (h) segitiga MNL, persegi panjang dalam N, dengan mengetahui pengukuran segmen:
NL = 10 cm
MN = 5 cm
PM = 2 cm
Solusi
Anda memiliki pengukuran salah satu kaki yang diproyeksikan pada sisi miring (PM), serta pengukuran kaki-kaki dari segitiga asli. Dengan cara ini, teorema kaki dapat diterapkan untuk menemukan nilai kaki proyeksi lainnya (LN):
NL2 = PM * LM
(10) 2 = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100 ÷ 5 = 20
Seperti yang telah kita ketahui nilai kaki dan sisi miringnya, melalui hubungan teorema tinggi dan kaki, nilai tinggi dapat ditentukan:
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h = (b2 * a2) ÷ c.
h = (102 * 52) ÷ (20)
h = (100 * 25) ÷ (20)
h = 2500 ÷ 20
h = 125 cm.
