Vektor Aljabar: Dasar-dasar, Besaran, Vektor

Aljabar vektor adalah cabang matematika yang bertanggung jawab untuk mempelajari sistem persamaan linear, vektor, matriks, ruang vektor, dan transformasi linearnya. Ini terkait dengan bidang-bidang seperti teknik, resolusi persamaan diferensial, analisis fungsional, riset operasi, grafik komputer, dan lainnya.

Area lain yang telah mengadopsi aljabar linier adalah fisika, karena melalui ini telah dikembangkan untuk mempelajari fenomena fisik, menggambarkannya melalui penggunaan vektor. Ini memungkinkan pemahaman yang lebih baik tentang alam semesta.

Dasar-dasar

Aljabar vektor berasal dari studi angka empat (ekstensi bilangan real) 1, i, j, dan k, serta geometri Cartesian yang dipromosikan oleh Gibbs dan Heaviside, yang menyadari bahwa vektor akan berfungsi sebagai instrumen untuk mewakili berbagai fenomena fisik.

Aljabar vektor dipelajari melalui tiga yayasan:

Secara geometris

Vektor diwakili oleh garis yang memiliki orientasi, dan operasi seperti penjumlahan, pengurangan dan penggandaan dengan bilangan real ditentukan melalui metode geometris.

Secara analitis

Deskripsi vektor dan operasinya dilakukan dengan angka, yang disebut komponen. Jenis deskripsi ini adalah hasil dari representasi geometris karena sistem koordinat digunakan.

Secara aksiomatis

Deskripsi vektor dibuat, terlepas dari sistem koordinat atau semua jenis representasi geometris.

Studi tentang angka-angka di ruang angkasa dilakukan melalui representasi mereka dalam sistem referensi, yang bisa dalam satu atau lebih dimensi. Di antara sistem utama adalah:

- Sistem satu dimensi, yang merupakan garis di mana satu titik (O) mewakili asal dan titik lain (P) menentukan skala (panjang) dan arahnya:

- Sistem koordinat persegi panjang (dua dimensi), yang terdiri dari dua garis tegak lurus yang disebut sumbu x dan sumbu y, yang melewati titik (O) asal; dengan cara ini pesawat dibagi menjadi empat wilayah yang disebut kuadran. Dalam hal ini titik (P) dalam pesawat diberikan oleh jarak yang ada antara sumbu dan P.

- Sistem koordinat kutub (dua dimensi). Dalam hal ini, sistem terdiri dari titik O (asal) yang disebut kutub dan sinar dengan asal O yang disebut sumbu kutub. Dalam hal ini titik P dari bidang, dengan mengacu pada kutub dan sumbu kutub, diberikan oleh sudut (Ɵ), yang dibentuk oleh jarak antara titik asal dan titik P.

- Sistem tiga dimensi persegi panjang, dibentuk oleh tiga garis tegak lurus (x, y, z) yang memiliki asal titik O di ruang angkasa. Tiga pesawat koordinat dibentuk: xy, xz dan yz; ruang akan dibagi menjadi delapan wilayah yang disebut oktan. Referensi titik P ruang diberikan oleh jarak yang ada antara pesawat dan P.

Besarnya

Magnitudo adalah kuantitas fisik yang dapat dihitung atau diukur melalui nilai numerik, seperti dalam kasus beberapa fenomena fisik; namun demikian, seringkali perlu untuk menggambarkan fenomena ini dengan faktor-faktor lain yang tidak numerik. Itulah sebabnya besaran diklasifikasikan menjadi dua jenis:

Besarnya skalar

Mereka adalah jumlah yang didefinisikan dan diwakili secara numerik; yaitu, dengan modul bersama dengan unit pengukuran. Sebagai contoh:

a) Waktu: 5 detik.

b) Massa: 10 kg.

c) Volume: 40 ml.

d) Temperatur: 40 ºC.

Besaran vektor

Mereka adalah jumlah yang didefinisikan dan diwakili oleh modul bersama dengan unit, serta oleh rasa dan arah. Sebagai contoh:

a) Kecepatan: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Akselerasi: 13 m / s2; S 45º E.

c) Angkatan: 280 N, 120º.

d) Berat: -40 ĵ kg-f.

Besaran vektor diwakili secara grafis oleh vektor.

Apa itu vektor?

Vektor adalah representasi grafik dari besaran vektor; artinya, mereka adalah segmen garis lurus di mana ujung akhir mereka adalah ujung panah.

Ini ditentukan oleh modul atau panjang segmennya, artinya yang ditunjukkan oleh ujung panahnya dan arahnya sesuai dengan garis di mana ia berada. Asal usul vektor juga dikenal sebagai titik aplikasi.

Elemen-elemen vektor adalah sebagai berikut:

Modul

Ini adalah jarak dari titik asal ke ujung vektor, diwakili oleh bilangan real bersama dengan satu unit. Sebagai contoh:

| OM | = | A | = A = 6 cm

Alamat

Ini adalah ukuran sudut antara sumbu x (dari positif) dan vektor, serta titik kardinal (utara, selatan, timur dan barat).

Masuk akal

Ini diberikan oleh panah yang terletak di ujung vektor, yang menunjukkan ke mana arahnya.

Klasifikasi vektor

Secara umum, vektor diklasifikasikan sebagai:

Memperbaiki vektor

Ini adalah orang yang titik aplikasi (asal) diperbaiki; artinya, bahwa ia tetap terikat pada suatu titik ruang, alasan mengapa ia tidak dapat dipindahkan di tempat ini.

Vektor gratis

Ia dapat bergerak bebas di ruang angkasa karena asalnya bergerak ke titik mana pun tanpa mengubah modul, pengertian, atau arahnya.

Vektor geser

Ini adalah salah satu yang dapat memindahkan asalnya di sepanjang garis tindakannya tanpa mengubah modul, arah atau arahnya.

Properti vektor

Di antara sifat-sifat utama vektor adalah sebagai berikut:

Vektor Equipolentes

Mereka adalah vektor-vektor bebas yang memiliki modul yang sama, arah (atau mereka paralel) dan merasakan bahwa vektor geser atau vektor tetap.

Vektor Setara

Ini terjadi ketika dua vektor memiliki arah yang sama (atau paralel), pengertian yang sama, dan meskipun memiliki modul dan titik aplikasi yang berbeda, mereka menyebabkan efek yang sama.

Persamaan vektor

Mereka memiliki modul, arah, dan indra yang sama, meskipun titik awalnya berbeda, yang memungkinkan vektor paralel bergerak sendiri tanpa memengaruhinya.

Seberang Vektor

Mereka adalah mereka yang memiliki modul dan arah yang sama, tetapi maknanya berlawanan.

Unit vektor

Ini adalah modul di mana modulnya sama dengan unit (1). Ini diperoleh dengan membagi vektor dengan modulnya dan digunakan untuk menentukan arah dan rasa vektor, baik di dalam bidang atau di luar angkasa, menggunakan basis atau vektor dinormalisasi yang disatukan, yaitu:

Vektor kosong

Ini adalah modul yang sama dengan 0; yaitu, titik asal dan tujuan mereka bertepatan pada titik yang sama.

Komponen vektor

Komponen vektor adalah nilai-nilai proyeksi vektor pada sumbu sistem referensi; Bergantung pada penguraian vektor, yang dapat berupa dua atau tiga sumbu, dua atau tiga komponen akan diperoleh secara berurutan.

Komponen vektor adalah bilangan real, yang bisa positif, negatif atau bahkan nol (0).

Jadi, jika kita memiliki vektor Ā, yang berasal dari sistem koordinat persegi panjang pada bidang xy (dua dimensi), proyeksi pada sumbu x adalah Āx dan proyeksi pada sumbu y adalah Āy. Dengan demikian, vektor akan dinyatakan sebagai jumlah dari vektor komponennya.

Contohnya

Contoh pertama

Kami memiliki vektor Ā yang dimulai dari titik asal dan koordinat ujungnya diberikan. Dengan demikian, vektor Ā = (Ā _x ; A _y ) = (4; 5) cm.

Jika vektor Ā bekerja pada titik asal sistem koordinat tiga dimensi segitiga (dalam ruang) x, y, z, ke titik lain (P), proyeksi pada sumbunya adalah Āx, Āy dan Āz; dengan demikian, vektor akan dinyatakan sebagai jumlah dari tiga vektor komponennya.

Contoh kedua

Kami memiliki vektor Ā yang dimulai dari titik asal dan koordinat ujungnya diberikan. Jadi, vektor Ā = (A _x ; A _y; A _z ) = (4; 6; -3) cm.

Vektor yang memiliki koordinat persegi panjangnya dapat dinyatakan dalam vektor basisnya. Untuk itu, hanya setiap koordinat yang harus dikalikan dengan vektor unitnya masing-masing, sedemikian rupa sehingga untuk bidang dan ruangnya akan menjadi sebagai berikut:

Untuk bidang: Ā = A _x i + A _dan j.

Untuk spasi: Ā = A _x i + A _dan j + A _z k.

Operasi dengan vektor

Ada banyak besaran yang memiliki modul, indra dan arah, seperti akselerasi, kecepatan, perpindahan, gaya, antara lain.

Ini diterapkan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, dan untuk menerapkannya perlu dalam beberapa kasus untuk melakukan operasi seperti penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian vektor dan skalar.

Penambahan dan pengurangan vektor

Penambahan dan pengurangan vektor dianggap sebagai operasi aljabar tunggal karena pengurangan dapat ditulis sebagai penjumlahan; misalnya, pengurangan vektor Ā dan Ē dapat dinyatakan sebagai:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Ada berbagai metode untuk melakukan penambahan dan pengurangan vektor: mereka dapat berupa grafik atau analitik.

Metode grafis

Digunakan ketika vektor memiliki modul, indra dan arah. Untuk melakukan ini, ditarik garis yang membentuk gambar yang kemudian membantu menentukan hasilnya. Di antara yang paling dikenal, berikut ini menonjol:

Metode jajaran genjang

Untuk membuat penambahan atau pengurangan dari dua vektor, sebuah titik dipilih secara umum pada sumbu koordinat -yang akan mewakili titik asal vektor-, mempertahankan modulus, arah dan arahnya.

Kemudian garis digambar sejajar dengan vektor untuk membentuk jajar genjang. Vektor yang dihasilkan adalah diagonal yang berangkat dari titik asal kedua vektor hingga titik jajaran genjang:

Metode segitiga

Dalam metode ini vektor ditempatkan satu di samping yang lain, mempertahankan modul mereka, arah dan arah. Vektor yang dihasilkan akan menjadi gabungan dari asal vektor pertama dengan akhir vektor kedua:

Metode analitik

Anda dapat menambah atau mengurangi dua vektor atau lebih melalui metode geometris atau vektor:

Metode geometris

Ketika dua vektor membentuk segitiga atau jajaran genjang, modulus dan arah vektor yang dihasilkan dapat ditentukan dengan menggunakan hukum sinus dan kosinus. Dengan demikian, modul vektor yang dihasilkan, menerapkan hukum kosinus dan dengan metode segitiga, diberikan oleh:

Dalam rumus ini β adalah sudut yang berlawanan dengan sisi R, dan ini sama dengan 180º - Ɵ.

Sebaliknya, dengan metode jajar genjang modul vektor yang dihasilkan adalah:

Arah vektor yang dihasilkan diberikan oleh sudut (α), yang membentuk resultan dengan salah satu vektor.

Menurut hukum sinus, penambahan atau pengurangan vektor juga dapat dilakukan dengan metode segitiga atau jajaran genjang, mengetahui bahwa di setiap segitiga sisi-sisinya sebanding dengan payudara sudut:

Metode vektor

Ini dapat dilakukan dengan dua cara: tergantung pada koordinat persegi panjang atau vektor basis mereka.

Ini dapat dilakukan dengan mentransfer vektor yang akan ditambahkan atau dikurangi dengan asal koordinat, dan kemudian semua proyeksi pada masing-masing sumbu untuk pesawat (x, y) atau spasi (x, dan, z); akhirnya, komponennya ditambahkan secara aljabar. Jadi, untuk pesawat itu adalah:

Modul vektor yang dihasilkan adalah:

Sedangkan untuk ruang adalah:

Modul vektor yang dihasilkan adalah:

Saat melakukan penjumlahan vektor, beberapa properti diterapkan, yaitu:

- Properti asosiatif: hasilnya tidak berubah ketika menambahkan dua vektor pertama, dan kemudian menambahkan vektor ketiga.

- Properti komutatif: urutan vektor tidak mengubah resultan.

- Properti distribusi vektor: jika skalar dikalikan dengan jumlah dua vektor, itu sama dengan perkalian skalar untuk setiap vektor.

- Properti distribusi skalar: jika vektor dikalikan dengan jumlah dua skalar, itu sama dengan perkalian vektor untuk setiap skalar.

Penggandaan vektor

Penggandaan atau produk vektor dapat dilakukan sebagai penjumlahan atau pengurangan, tetapi dengan melakukan itu, ia kehilangan makna fisik dan hampir tidak pernah ditemukan dalam aplikasi. Untuk alasan ini, jenis produk yang paling umum digunakan adalah produk skalar dan vektorial.

Produk skalar

Ia juga dikenal sebagai produk titik dari dua vektor. Ketika modul dua vektor dikalikan dengan kosinus dari sudut minor yang terbentuk di antara mereka, skalar diperoleh. Untuk menempatkan produk skalar di antara dua vektor, sebuah titik ditempatkan di antara mereka, dan ini dapat didefinisikan sebagai:

Nilai sudut yang ada di antara kedua vektor akan tergantung pada apakah mereka paralel atau tegak lurus; Jadi, Anda harus:

- Jika vektornya paralel dan memiliki indra yang sama, cosinus 0º = 1.

- Jika vektornya paralel dan memiliki indera yang berlawanan, cosinus 180º = -1.

- Jika vektor tegak lurus, cosinus 90º = 0.

Sudut itu juga dapat dihitung dengan mengetahui bahwa:

Produk skalar memiliki sifat-sifat berikut:

- Properti komutatif: urutan vektor tidak mengubah skalar.

- Properti distributif: jika skalar dikalikan dengan jumlah dua vektor, itu sama dengan perkalian skalar untuk setiap vektor.

Produk vektor

Penggandaan vektor, atau produk silang dari dua vektor A dan B, akan menghasilkan vektor C baru dan diekspresikan menggunakan persilangan antar vektor:

Vektor baru akan memiliki karakteristiknya sendiri. Dengan cara itu:

- Arah: vektor baru ini akan tegak lurus terhadap bidang, yang ditentukan oleh vektor aslinya.

- Pengertian: ini ditentukan dengan aturan tangan kanan, di mana vektor A diputar ke arah B dengan menunjukkan arah rotasi dengan jari, dan dengan ibu jari, rasa vektor ditandai.

- Modul: ditentukan oleh penggandaan modul vektor AxB, oleh sinus sudut terkecil yang ada di antara vektor-vektor ini. Itu diungkapkan:

Nilai sudut yang ada di antara kedua vektor akan tergantung pada apakah mereka paralel atau tegak lurus. Maka, dimungkinkan untuk menegaskan hal berikut:

- Jika vektornya paralel dan memiliki indra yang sama, sin 0º = 0.

- Jika vektornya paralel dan memiliki indera yang berlawanan, sinus 180º = 0.

- Jika vektor tegak lurus, sinus 90º = 1.

Ketika suatu produk vektor dinyatakan dalam vektor-vektor dasarnya, ia harus: