Persamaan polinomial (dengan Latihan Solved)
Persamaan polinomial adalah pernyataan yang meningkatkan persamaan dua ekspresi atau anggota, di mana setidaknya salah satu istilah yang membentuk setiap sisi persamaan adalah polinomial P (x). Persamaan ini dinamai sesuai dengan tingkat variabel mereka.
Secara umum, persamaan adalah pernyataan yang menetapkan kesetaraan dua ekspresi, di mana setidaknya satu dari ini ada jumlah yang tidak diketahui, yang disebut variabel atau tidak diketahui. Meskipun ada banyak jenis persamaan, mereka umumnya diklasifikasikan menjadi dua jenis: aljabar dan transendental.
Persamaan polinomial hanya mengandung ekspresi aljabar, yang mungkin memiliki satu atau lebih yang tidak diketahui yang terlibat dalam persamaan. Menurut eksponen (kelas) mereka dapat diklasifikasikan menjadi: derajat pertama (linier), derajat kedua (kuadratik), derajat ketiga (kubik), derajat keempat (kuartik), lebih besar dari atau sama dengan lima dan tidak rasional.
Fitur
Persamaan polinom adalah ekspresi yang dibentuk oleh persamaan antara dua polinomial; yaitu, dengan jumlah terbatas dari penggandaan antara nilai-nilai yang tidak diketahui (variabel) dan angka tetap (koefisien), di mana variabel dapat memiliki eksponen, dan nilainya dapat berupa bilangan bulat positif, termasuk nol.
Eksponen menentukan derajat atau jenis persamaan. Istilah ungkapan yang memiliki eksponen nilai tertinggi akan mewakili tingkat absolut polinomial.
Persamaan polinomial juga dikenal sebagai aljabar, koefisiennya dapat berupa bilangan real atau kompleks dan variabel adalah bilangan tidak dikenal yang diwakili oleh huruf, seperti "x".
Jika mengganti nilai dengan variabel "x" dalam P (x) hasilnya sama dengan nol (0), maka dikatakan bahwa nilai ini memenuhi persamaan (itu adalah solusi), dan umumnya disebut akar polinomial.
Ketika persamaan polinomial dikembangkan, Anda ingin menemukan semua akar atau solusi.
Jenis
Ada beberapa jenis persamaan polinomial, yang dibedakan berdasarkan jumlah variabel, dan juga menurut derajat eksponennya.
Dengan demikian, persamaan polinomial -dimana istilah pertama adalah polinomial dengan hanya satu yang tidak diketahui, mengingat derajatnya dapat berupa bilangan asli (n) dan suku kedua adalah nol-, dapat dinyatakan sebagai berikut:
a n * xn + a n-1 * xn-1 + ... + a 1 * x1 + a 0 * x 0 = 0
Dimana:
- a n, a -1 dan 0, adalah koefisien nyata (angka).
- a n berbeda dari nol.
- Eksponen n adalah bilangan bulat positif yang mewakili derajat persamaan.
- x adalah variabel atau tidak diketahui yang harus dicari.
Tingkat absolut atau lebih besar dari suatu persamaan polinom adalah bahwa eksponen bernilai lebih besar di antara semua yang membentuk polinom; dengan cara itu, persamaan diklasifikasikan sebagai:
Kelas satu
Persamaan polinomial tingkat pertama, juga dikenal sebagai persamaan linear, adalah persamaan di mana derajat (eksponen terbesar) sama dengan 1, polinomialnya dalam bentuk P (x) = 0; dan itu terdiri dari istilah linear dan istilah independen. Itu ditulis sebagai berikut:
kapak + b = 0.
Dimana:
- a dan b sudah bilangan real ≠ 0.
- kapak adalah istilah linear.
- b adalah istilah independen.
Misalnya, persamaan 13x - 18 = 4x.
Untuk menyelesaikan persamaan linier, semua istilah yang mengandung x yang tidak diketahui harus diberikan di satu sisi kesetaraan, dan yang tidak memiliki langkah yang sama ke sisi lain, untuk menghapusnya dan mendapatkan solusi:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2
Dengan cara itu, persamaan yang diberikan memiliki solusi tunggal atau root, yaitu x = 2.
Kelas dua
Persamaan polinomial derajat kedua, juga dikenal sebagai persamaan kuadrat, adalah persamaan di mana derajat (eksponen terbesar) sama dengan 2, polinomialnya dalam bentuk P (x) = 0, dan terdiri dari istilah kuadratik, satu linier dan satu independen. Itu diungkapkan sebagai berikut:
ax2 + bx + c = 0.
Dimana:
- a, b dan c sudah bilangan real ≠ 0.
- ax2 adalah istilah kuadratik, dan "a" adalah koefisien dari istilah kuadratik.
- bx adalah istilah linear, dan "b" adalah koefisien dari istilah linear.
- c adalah istilah independen.
Atasi
Secara umum, solusi untuk jenis persamaan ini diberikan dengan membersihkan x dari persamaan, dan dibiarkan sebagai berikut, yang disebut resolver:
Di sana, (b2 - 4ac) disebut sebagai diskriminan persamaan dan ungkapan ini menentukan jumlah solusi yang dapat dimiliki persamaan:
- Jika (b2 - 4ac) = 0, persamaan akan memiliki solusi tunggal yang ganda; yaitu, Anda akan memiliki dua solusi yang sama.
- Jika (b2 - 4ac)> 0, persamaan akan memiliki dua solusi nyata yang berbeda.
- Jika (b2 - 4ac) <0, persamaan tidak memiliki solusi (ia akan memiliki dua solusi kompleks yang berbeda).
Sebagai contoh, kita memiliki persamaan 4x2 + 10x - 6 = 0, untuk menyelesaikannya pertama-tama kita mengidentifikasi istilah a, b dan c, dan kemudian menggantinya dalam rumus:
a = 4
b = 10
c = -6.
Ada kasus di mana persamaan polinomial tingkat kedua tidak memiliki tiga suku, dan itulah sebabnya mereka diselesaikan secara berbeda:
- Dalam hal persamaan kuadrat tidak memiliki istilah linier (yaitu, b = 0), persamaan akan dinyatakan sebagai ax2 + c = 0. Untuk menyelesaikannya, x2 dihapus dan akar kuadrat diterapkan pada setiap anggota, mengingat yang harus dianggap sebagai dua kemungkinan tanda yang mungkin memiliki penyamaran:
ax2 + c = 0.
x2 = - c ÷ a
Misalnya, 5 x2 - 20 = 0.
5 x2 = 20
x2 = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x 1 = 2
x 2 = -2
- Ketika persamaan kuadrat tidak memiliki istilah independen (yaitu, c = 0), persamaan tersebut akan dinyatakan sebagai ax2 + bx = 0. Untuk menyelesaikannya, kita harus mengekstrak faktor umum dari x yang tidak diketahui dalam anggota pertama; karena persamaannya sama dengan nol, memang benar bahwa setidaknya salah satu faktor akan sama dengan 0:
ax2 + bx = 0.
x (ax + b) = 0.
Dengan cara itu, Anda harus:
x = 0
x = -b ÷ a.
Misalnya: Anda memiliki persamaan 5x2 + 30x = 0. Faktor pertama:
5x2 + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Dua faktor dihasilkan yaitu xy (5x + 30). Dianggap bahwa salah satu dari ini akan sama dengan nol dan solusi lainnya akan diberikan:
x 1 = 0
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
x 2 = -6.
Gelar utama
Persamaan polinomial derajat yang lebih besar adalah persamaan yang berjalan dari derajat ketiga dan seterusnya, yang dapat diekspresikan atau diselesaikan dengan persamaan polinomial umum untuk gelar apa pun:
a n * xn + a n-1 * xn-1 + ... + a 1 * x1 + a 0 * x 0 = 0
Ini digunakan karena persamaan dengan derajat lebih besar dari dua adalah hasil dari faktorisasi polinomial; yaitu, ia dinyatakan sebagai penggandaan polinomial derajat satu atau lebih besar, tetapi tanpa akar yang nyata.
Solusi dari jenis persamaan ini adalah langsung, karena perkalian dua faktor akan sama dengan nol jika salah satu faktornya nol (0); Oleh karena itu, setiap persamaan polinomial yang ditemukan harus diselesaikan, menyamakan masing-masing faktornya menjadi nol.
Misalnya, Anda memiliki persamaan derajat ketiga (kubik) x3 + x2 + 4x + 4 = 0. Untuk mengatasinya Anda harus mengikuti langkah-langkah berikut:
- Persyaratan dikelompokkan:
x3 + x2 + 4x + 4 = 0
(x3 + x2) + (4x + 4) = 0.
- Para anggota dipecah untuk mendapatkan faktor umum dari yang tidak diketahui:
x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(x2 + 4) * (x + 1) = 0.
- Dengan cara ini, dua faktor diperoleh, yang harus sama dengan nol:
(x2 + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- Dapat dilihat bahwa faktor (x2 + 4) = 0 tidak akan memiliki solusi nyata, sedangkan faktor (x + 1) = 0 tidak. Oleh karena itu, solusinya adalah:
(x + 1) = 0
x = -1
Latihan yang diselesaikan
Selesaikan persamaan berikut:
Latihan pertama
(2x2 + 5) * (x - 3) * (1 + x) = 0.
Solusi
Dalam hal ini persamaan dinyatakan sebagai multiplikasi polinomial; itu adalah faktor. Untuk mengatasinya, setiap faktor harus sama dengan nol:
- 2x2 + 5 = 0, tidak punya solusi.
- x - 3 = 0
- x = 3
- 1 + x = 0
- x = - 1.
Dengan demikian, persamaan yang diberikan memiliki dua solusi: x = 3 dan x = -1.
Latihan kedua
x4 - 36 = 0
Solusi
Itu diberi polinomial, yang dapat ditulis ulang sebagai perbedaan kotak untuk sampai pada solusi yang lebih cepat. Dengan demikian, persamaannya tetap:
(x2 + 6) * (x2 - 6) = 0.
Untuk menemukan solusi persamaan, kedua faktor sama dengan nol:
(x2 + 6) = 0, tidak memiliki solusi.
(x2 - 6) = 0
x2 = 6
x = ± √6.
Dengan demikian, persamaan awal memiliki dua solusi:
x = √6.
x = - √6.
