Derivatif Berturutan (dengan Latihan yang Dipecahkan)

Derivatif berturut - turut adalah turunan dari suatu fungsi setelah turunan kedua. Proses untuk menghitung turunan berturut-turut adalah sebagai berikut: kami memiliki fungsi f, yang dapat kami peroleh dan dengan demikian memperoleh fungsi turunan f '. Untuk turunan dari f ini kita dapat menurunkannya lagi, memperoleh (f ')'.

Fungsi baru ini disebut turunan kedua; semua turunan yang dihitung dari yang kedua adalah berturut-turut; Ini, juga disebut urutan yang lebih tinggi, memiliki aplikasi yang hebat, seperti memberikan informasi tentang plot grafik suatu fungsi, tes turunan kedua untuk ekstrem relatif dan penentuan deret tak hingga.

Definisi

Menggunakan notasi Leibniz, kita memiliki bahwa turunan dari fungsi "y" sehubungan dengan "x" adalah dy / dx. Untuk mengekspresikan turunan kedua "dan" menggunakan notasi Leibniz, kami menulis sebagai berikut:

Secara umum, kita dapat mengekspresikan turunan berturut-turut sebagai berikut dengan notasi Leibniz, di mana n mewakili urutan turunan.

Notasi lain yang digunakan adalah sebagai berikut:

Beberapa contoh di mana kita dapat melihat notasi yang berbeda adalah:

Contoh 1

Dapatkan semua turunan dari fungsi f yang didefinisikan oleh:

Menggunakan teknik derivasi yang biasa, kita memiliki turunan dari f adalah:

Dengan mengulangi prosesnya kita bisa memperoleh turunan kedua, turunan ketiga dan seterusnya.

Perhatikan bahwa turunan keempat adalah nol dan turunan dari nol adalah nol, jadi kita harus:

Contoh 2

Hitung turunan keempat dari fungsi berikut:

Memperoleh fungsi yang diberikan yang kita miliki sebagai hasilnya:

Kecepatan dan akselerasi

Salah satu motivasi yang mengarah pada penemuan turunan adalah pencarian definisi kecepatan sesaat. Definisi formal adalah sebagai berikut:

Misalkan y = f (t) adalah fungsi yang grafiknya menggambarkan lintasan partikel pada t instan, maka kecepatannya pada t instan diberikan oleh:

Setelah memperoleh kecepatan suatu partikel, kita dapat menghitung percepatan sesaat, yang didefinisikan sebagai berikut:

Percepatan sesaat dari partikel yang lintasannya diberikan oleh y = f (t) adalah:

Contoh 1

Partikel bergerak pada garis sesuai dengan fungsi posisi:

Di mana "dan" diukur dalam meter dan "t" dalam detik.

- Pada kecepatan berapa 0 Anda?

- Kapan akselerasinya 0?

Ketika menurunkan fungsi posisi «dan» kita memiliki kecepatan dan akselerasi yang diberikan masing-masing oleh:

Untuk menjawab pertanyaan pertama, cukup untuk menentukan kapan fungsi v menjadi nol; ini adalah:

Kami melanjutkan dengan pertanyaan berikut secara analog:

Contoh 2

Sebuah partikel bergerak pada garis sesuai dengan persamaan gerak berikut:

Tentukan «t, y» dan «v» ketika a = 0.

Mengetahui bahwa kecepatan dan akselerasi diberikan oleh

Kami melanjutkan untuk memperoleh dan memperoleh:

Dengan melakukan a = 0, kita memiliki:

Dari mana kita dapat menyimpulkan bahwa nilai t untuk menjadi sama dengan nol adalah dari t = 1.

Kemudian, mengevaluasi fungsi posisi dan fungsi kecepatan pada t = 1, kita harus:

Aplikasi

Derivasi yang ditentukan

Derivatif berturut-turut juga dapat diperoleh dengan derivasi implisit.

Contoh

Dengan elips berikut, temukan «dan»:

Turun secara implisit sehubungan dengan kapak, kita memiliki:

Kemudian, kembali secara tersirat sehubungan dengan kapak, itu memberi kita:

Akhirnya, kami memiliki:

Ujung yang relatif

Penggunaan lain yang dapat kita berikan untuk turunan dari orde kedua adalah dalam perhitungan ujung relatif suatu fungsi.

Kriteria turunan pertama untuk ekstrem lokal memberitahu kita bahwa, jika kita memiliki fungsi f kontinu dalam rentang (a, b) dan ada c yang termasuk dalam interval tersebut sehingga f'd dibatalkan dalam c (yaitu, bahwa c adalah titik kritis), salah satu dari tiga kasus ini dapat terjadi:

- Jika f '(x)> 0 untuk setiap x milik (a, c) dan f' (x) <0 untuk x milik (c, b), maka f (c) adalah maksimum lokal.

- Jika f '(x) 0 untuk x milik (c, b), maka f (c) adalah minimum lokal.

- Jika f '(x) memiliki masuk yang sama (a, c) dan di (c, b), itu menyiratkan bahwa f (c) bukan titik akhir lokal.

Dengan menggunakan kriteria turunan kedua, kita dapat mengetahui apakah angka kritis suatu fungsi adalah maksimum atau minimum lokal, tanpa harus melihat tanda fungsi tersebut dalam interval yang disebutkan di atas.

Kriteria derivasi kedua memberitahu kita bahwa jika f '(c) = 0 dan bahwa f' '(x) kontinu dalam (a, b), itu terjadi bahwa jika f' '(c)> 0 maka f (c) adalah minimum lokal dan jika f '' (c) <0 maka f (c) adalah maksimum lokal.

Jika f '' (c) = 0, kami tidak dapat menyimpulkan apa pun.

Contoh

Dengan fungsi f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2, cari nilai maksimum dan minimum f dengan menerapkan kriteria turunan kedua.

Pertama kita menghitung f '(x) dan f' '(x) dan kita memiliki:

f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x

f '' (x) = 12x2 + 8x - 8

Sekarang, f '(x) = 0 jika, dan hanya jika 4x (x + 2) (x - 1) = 0, dan ini terjadi ketika x = 0, x = 1 atau sapi = - 2.

Untuk menentukan apakah angka kritis yang diperoleh relatif ekstrem, cukuplah untuk mengevaluasi dalam f '' dan dengan demikian mengamati tandanya.

f '' (0) = - 8, jadi f (0) adalah maksimum lokal.

f '' (1) = 12, jadi f (1) adalah minimum lokal.

f '' (- 2) = 24, jadi f (- 2) adalah minimum lokal.

Seri Taylor

Biarkan f menjadi fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:

Fungsi ini memiliki jari-jari konvergensi R> 0 dan memiliki turunan dari semua pesanan di (-R, R). Derivatif berturut-turut dari f memberi kita:

Mengambil x = 0, kita dapat memperoleh nilai cn sebagai fungsi turunannya sebagai berikut:

Jika kita mengambil a = 0 sebagai fungsi f (yaitu, f ^ 0 = f), maka kita dapat menulis ulang fungsi sebagai berikut:

Sekarang pertimbangkan fungsi sebagai serangkaian kekuatan di x = a:

Jika kita melakukan analisis analog dengan yang sebelumnya, kita harus menulis fungsi f sebagai:

Serial ini dikenal sebagai deret Taylor dari f in a. Ketika a = 0 kita memiliki case khusus yang disebut seri Maclaurin. Jenis seri ini sangat penting secara matematis terutama dalam analisis numerik, karena berkat ini kita dapat mendefinisikan fungsi dalam komputer seperti ex, sin (x) dan cos (x).