Cross Product: Properti, Aplikasi, dan Latihan yang Dipecahkan

Produk silang atau produk vektor adalah cara untuk melipatgandakan dua atau lebih vektor. Ada tiga cara untuk melipatgandakan vektor, tetapi tidak ada yang merupakan kelipatan dalam arti kata yang biasa. Salah satu bentuk ini dikenal sebagai produk vektor, yang menghasilkan vektor ketiga.

Produk vektor, yang juga disebut produk silang atau produk eksternal, memiliki sifat aljabar dan geometris yang berbeda. Sifat-sifat ini sangat berguna, terutama dalam studi fisika.

Definisi

Definisi formal dari produk vektor adalah sebagai berikut: jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3) adalah vektor, maka produk vektor dari A dan B, yang akan kami nyatakan sebagai AxB, adalah:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Karena notasi AxB, itu terbaca sebagai "A cross B".

Contoh cara menggunakan produk eksterior adalah bahwa jika A = (1, 2, 3) dan B = (3, -2, 4) adalah vektor, maka menggunakan definisi produk vektor yang kita miliki:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Cara lain untuk mengekspresikan produk vektor diberikan oleh notasi determinan.

Perhitungan penentu urutan kedua diberikan oleh:

Oleh karena itu, rumus produk vektor yang diberikan dalam definisi dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Ini biasanya disederhanakan dalam penentu urutan ketiga sebagai berikut:

Di mana i, j, k mewakili vektor yang membentuk dasar R3.

Dengan menggunakan cara ini mengekspresikan produk silang, kami memiliki bahwa contoh sebelumnya dapat ditulis ulang sebagai:

Properti

Beberapa properti yang dimiliki produk vektor adalah sebagai berikut:

Properti 1

Jika A adalah vektor dalam R3, kita harus:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Properti ini mudah diperiksa hanya dengan menggunakan definisi. Jika A = (a1, a2, a3) kita harus:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Jika i, j, k mewakili basis unit R3, kita dapat menuliskannya sebagai berikut:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Kemudian, kita harus memenuhi properti berikut:

Sebagai aturan mnemonik, untuk mengingat properti ini, lingkaran berikut ini biasanya digunakan:

Di sana kita harus mencatat bahwa setiap vektor dengan dirinya sendiri menghasilkan vektor 0, dan sisa produk dapat diperoleh dengan aturan berikut:

Produk silang dari dua vektor berturut-turut dalam arah searah jarum jam menghasilkan vektor berikut; dan ketika mempertimbangkan arah berlawanan arah jarum jam, hasilnya adalah vektor berikut dengan tanda negatif.

Berkat properti ini kita dapat melihat bahwa produk vektor tidak komutatif; misalnya, cukup memperhatikan bahwa ixj ≠ jx i. Properti berikut memberi tahu kami bagaimana AxB dan BxA berhubungan secara umum.

Properti 2

Jika A dan B adalah vektor R3, kita harus:

AxB = - (BxA).

Demonstrasi

Jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), menurut definisi produk eksternal kita memiliki:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Kita juga dapat mengamati bahwa produk ini tidak asosiatif dengan contoh berikut:

ix (ixj) = ixk = - j tetapi (ixi) xj = 0xj = 0

Dari sini kita dapat mengamati bahwa:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Properti 3

Jika A, B, C adalah vektor R3 dan r adalah bilangan real, berikut ini benar:

- Axe (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Berkat properti ini, kami dapat menghitung produk vektor menggunakan hukum aljabar, asalkan urutannya dihormati. Sebagai contoh:

Jika A = (1, 2, 3) dan B = (3, -2, 4), kita dapat menulis ulang mereka sesuai dengan basis kanonik R3.

Jadi, A = i + 2j + 3k dan B = 3i - 2j + 4k. Kemudian, terapkan properti sebelumnya:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Properti 4 (produk skalar tiga)

Seperti yang kami sebutkan di awal, ada cara lain untuk melipatgandakan vektor selain produk vektor. Salah satu cara ini adalah produk skalar atau produk internal, yang dilambangkan sebagai A ∙ B dan yang definisinya adalah:

Jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), maka A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Properti yang menghubungkan kedua produk ini dikenal sebagai produk skalar tiga.

Jika A, B, dan C adalah vektor R3, maka A ∙ BxC = AxB ∙ C

Sebagai contoh, mari kita lihat bahwa, mengingat A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) dan C = (- 5, 1, - 4), properti ini terpenuhi.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Di sisi lain:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Produk triple lainnya adalah Axe (BxC), yang dikenal sebagai produk triple vector.

Properti 5 (produk triple vektor)

Jika A, B dan C adalah vektor R3, maka:

Kapak (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Sebagai contoh, mari kita lihat bahwa, mengingat A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) dan C = (- 5, 1, - 4), properti ini terpenuhi.

Dari contoh sebelumnya kita tahu bahwa BxC = (- 18, - 22, 17). Mari kita hitung Ax (BxC):

Kapak (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Di sisi lain, kita harus:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Jadi, kita harus:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27, 19, -4)

Properti 6

Ini adalah salah satu sifat geometris vektor. Jika A dan B adalah dua vektor dalam R3 dan Θ adalah sudut yang terbentuk di antara ini, maka:

|| AxB || = | | A |||| B || sin (Θ), di mana || ∙ || menunjukkan modul atau besarnya vektor.

Interpretasi geometris dari properti ini adalah sebagai berikut:

Misalkan A = PR dan B = PQ. Kemudian, sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B adalah sudut P dari segitiga RQP, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Oleh karena itu, area jajaran genjang dengan sisi yang berdekatan PR dan PQ adalah || A |||| B || sin (Θ), karena kita dapat mengambil sebagai basis || A || dan tingginya diberikan oleh || B || sin (Θ).

Karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa || AxB || adalah area kata jajar genjang.

Contoh

Diberikan simpul berikut dari segiempat P (1, -2, 3), Q (4, 3, -1), R (2, 2, 1) dan S (5, 7, -3), menunjukkan bahwa segi empat tersebut Ini adalah jajar genjang dan temukan daerahnya.

Untuk ini pertama-tama kita menentukan vektor yang menentukan arah sisi segiempat. Ini adalah:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Seperti yang dapat kita amati, A dan C memiliki direktur vektor yang sama, yang kita miliki bahwa keduanya paralel; dengan cara yang sama terjadi dengan B dan D. Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa PQRS adalah jajaran genjang.

Untuk memiliki area kata jajar genjang tersebut, kami menghitung BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Oleh karena itu, area kuadrat akan:

|| BxA || 2 = (- 6) 2 + (- 2) 2 + (- 7) 2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Dapat disimpulkan bahwa area jajar genjang akan menjadi akar kuadrat dari 89.

Properti 7

Dua vektor A dan B sejajar dalam R3 jika dan hanya jika AxB = 0

Demonstrasi

Jelas bahwa jika A atau B adalah vektor nol, maka AxB = 0. Karena vektor nol sejajar dengan vektor lainnya, maka properti tersebut valid.

Jika tidak satu pun dari dua vektor tersebut adalah vektor nol, maka kita dapat mengetahui bahwa magnitudo mereka berbeda dari nol; yaitu, keduanya || A || ≠ 0 as || B || ≠ 0, jadi kita harus || AxB || = 0 jika dan hanya jika sin (Θ) = 0, dan ini terjadi jika dan hanya jika Θ = π atau Θ = 0.

Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan AxB = 0 jika dan hanya jika Θ = π atau Θ = 0, yang hanya terjadi ketika kedua vektor sejajar satu sama lain.

Properti 8

Jika A dan B adalah dua vektor dalam R3, maka AxB tegak lurus terhadap A dan B.

Demonstrasi

Untuk demonstrasi ini, ingatlah bahwa dua vektor tegak lurus jika A ∙ B sama dengan nol. Selain itu, kita tahu bahwa:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, tetapi AxA sama dengan 0. Oleh karena itu, kita harus:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Dengan ini kita dapat menyimpulkan bahwa A dan AxB saling tegak lurus. Secara analog, kita harus:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Karena BxB = 0, kita harus:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Oleh karena itu, AxB dan B saling tegak lurus dan dengan ini properti diperagakan. Ini sangat berguna, karena memungkinkan kita untuk menentukan persamaan sebuah bidang.

Contoh 1

Dapatkan persamaan bidang yang melewati titik P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) dan R (2, 1, 3).

Misalkan A = QR = (2 - 3, 1 + 2, 3 - 2) dan B = PR = (2 - 1, 1 - 3, 3 - 2). Kemudian A = - i + 3j + k dan B = i - 2j + k. Untuk menemukan bidang yang dibentuk oleh ketiga titik tersebut, cukup untuk menemukan vektor yang normal untuk bidang tersebut, yaitu AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Dengan vektor ini, dan mengambil titik P (1, 3, 2), kita dapat menentukan persamaan bidang sebagai berikut:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Jadi, kita memiliki bahwa persamaan bidang adalah 5x + 2y - z - 9 = 0.

Contoh 2

Temukan persamaan bidang yang berisi titik P (4, 0, - 2) dan yang tegak lurus terhadap masing-masing bidang x - y + z = 0 dan 2x + y - 4z - 5 = 0.

Mengetahui bahwa vektor normal ke kapak pesawat + dengan + cz + d = 0 adalah (a, b, c), kita memiliki (1, -1, 1) adalah vektor normal x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) adalah vektor normal 2x + y - 4z - 5 = 0.

Oleh karena itu vektor normal ke bidang yang diinginkan harus tegak lurus terhadap (1, -1, 1) dan a (2, 1, - 4). Vektor yang dikatakan adalah:

(1, -1, 1) x (2, 1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Kemudian, kita memiliki bahwa bidang yang dicari adalah yang berisi titik P (4, 0, - 2) dan memiliki vektor (3, 6, 3) sebagai vektor normal.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Aplikasi

Perhitungan volume paralelepiped

Aplikasi yang memiliki produk skalar tiga adalah untuk dapat menghitung volume parallelepiped yang tepinya diberikan oleh vektor A, B dan C, seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Kita dapat menyimpulkan aplikasi ini dengan cara berikut: seperti yang kami katakan sebelumnya, vektor AxB adalah vektor yang normal untuk bidang A dan B. Kami juga memiliki vektor - (AxB) adalah vektor normal lainnya untuk bidang tersebut.

Kami memilih vektor normal yang membentuk sudut terkecil dengan vektor C; tanpa kehilangan keumuman, biarkan AxB menjadi vektor yang sudutnya dengan C adalah yang terkecil.

Kami memiliki kedua AxB dan C memiliki titik awal yang sama. Selain itu, kita tahu bahwa area jajaran genjang yang membentuk dasar jajaran genjang adalah || AxB ||. Oleh karena itu, jika ketinggian parallelepiped diberikan oleh h, kita memiliki volumenya yaitu:

V = || AxB || h.

Di sisi lain, perhatikan produk skalar antara AxB dan C, yang dapat digambarkan sebagai berikut:

Namun, dengan sifat trigonometri kita memiliki h = || C || cos (Θ), jadi kita harus:

Dengan cara ini, kita harus:

Secara umum, kami berpendapat bahwa volume parallelepiped diberikan oleh nilai absolut dari produk skalar tiga, AxB ∙ C.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Mengingat titik P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) dan S = (2, 6, 9), titik-titik ini membentuk paralelepiped yang tepinya mereka adalah PQ, PR dan PS. Tentukan volume paralelepiped kata.

Solusi

Jika kami mengambil:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Dengan menggunakan properti produk skalar tiga, kita harus:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Oleh karena itu, kami memiliki bahwa volume paralelepiped tersebut adalah 52.

Latihan 2

Tentukan volume paralelepiped yang tepinya diberikan oleh A = PQ, B = PR dan C = PS, di mana titik P, Q, R dan S adalah (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) dan (2, 2, 5), masing-masing.