Produk penting: penjelasan dan latihan diselesaikan
Produk yang luar biasa adalah operasi aljabar, di mana perkalian polinomial dinyatakan, yang tidak perlu diselesaikan secara tradisional, tetapi dengan bantuan aturan tertentu Anda dapat menemukan hasilnya.
Polinomial dikalikan sendiri, oleh karena itu mereka mungkin memiliki banyak istilah dan variabel. Untuk mempersingkat proses, aturan dari produk-produk terkenal digunakan, yang memungkinkan penggandaan dilakukan tanpa harus melalui ketentuan.
Produk dan contoh terkenal
Setiap produk yang luar biasa adalah formula yang dihasilkan dari faktorisasi, terdiri dari polinomial berbagai istilah seperti binomial atau trinomial, yang disebut faktor.
Faktor-faktor adalah dasar dari suatu kekuatan dan memiliki eksponen. Ketika faktor-faktor berlipat ganda, eksponen harus ditambahkan.
Ada beberapa formula produk yang luar biasa, beberapa lebih banyak digunakan daripada yang lain, tergantung pada polinomial, dan mereka adalah sebagai berikut:
Binomial kuadrat
Ini adalah perkalian dari binomial dengan sendirinya, dinyatakan dalam bentuk kekuatan, di mana istilah ditambahkan atau dikurangi:
a. Binomial jumlah kuadrat: sama dengan kuadrat dari suku pertama, ditambah dua kali lipat produk dari suku, ditambah kuadrat dari suku kedua. Itu diungkapkan sebagai berikut:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Gambar berikut menunjukkan bagaimana produk dikembangkan sesuai dengan aturan yang disebutkan di atas. Hasilnya disebut trinomial dari kotak yang sempurna.
Contoh 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Contoh 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2
(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.
b. Binomial dari pengurangan ke kuadrat: aturan yang sama dari binomial dari jumlah diterapkan, hanya saja dalam hal ini suku kedua adalah negatif. Formulanya adalah sebagai berikut:
(a - b) 2 = [(a) + (- b)] 2
(a - b) 2 = a2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2.
Contoh 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 62
(2x - 6) 2 = 4x2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x2 - 24x + 36.
Produk dari binomial terkonjugasi
Dua binomial terkonjugasi ketika suku kedua masing-masing memiliki tanda yang berbeda, yaitu yang pertama adalah positif dan yang kedua negatif atau sebaliknya. Pecahkan dengan menaikkan setiap monomy square dan kurangi. Formulanya adalah sebagai berikut:
(a + b) * (a - b)
Pada gambar berikut produk dari dua binomial terkonjugasi dikembangkan, di mana diamati bahwa hasilnya adalah perbedaan kuadrat.
Contoh 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b2)
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.
Produk dari dua binomial dengan istilah umum
Ini adalah salah satu produk luar biasa yang paling kompleks dan sedikit digunakan karena merupakan perkalian dua binomial yang memiliki istilah umum. Aturan menunjukkan hal berikut:
- Kuadrat dari istilah umum.
- Plus tambahkan istilah yang tidak umum dan kemudian kalikan dengan istilah umum.
- Ditambah jumlah perkalian dari istilah yang tidak umum.
Itu diwakili dalam rumus: (x + a) * (x + b) dan dikembangkan seperti yang ditunjukkan pada gambar. Hasilnya trinomial persegi tidak sempurna.
(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.
Ada kemungkinan bahwa suku kedua (suku berbeda) adalah negatif dan rumusnya adalah sebagai berikut: (x + a) * (x - b).
Contoh 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.
Bisa juga terjadi bahwa kedua istilah yang berbeda negatif. Formulanya adalah: (x - a) * (x - b).
Contoh 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.
Polinomial persegi
Dalam hal ini ada lebih dari dua istilah dan untuk mengembangkannya, masing-masing dikuadratkan dan ditambahkan bersama dengan dua kali lipat dari satu istilah dengan yang lain; rumusnya adalah: (a + b + c) 2 dan hasil operasi adalah trinomial kuadrat.
Contoh 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomial ke kubus
Ini adalah produk kompleks yang luar biasa. Untuk mengembangkannya, gandakan binomial dengan kuadratnya, dengan cara berikut:
a. Untuk binomial ke kubus jumlah:
- Kubus dari suku pertama, ditambah tiga kuadrat dari suku pertama oleh yang kedua.
- Ditambah tiga kali lipat dari suku pertama, pada kuadrat kedua.
- Ditambah kubus dari istilah kedua.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)
(a + b) 3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Contoh 1
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.
b. Untuk binomial ke kubus pengurangan:
- Kubus dari suku pertama, kurang tiga dari kuadrat dari suku pertama oleh yang kedua.
- Ditambah tiga kali lipat dari suku pertama, pada kuadrat kedua.
- Kurangi kubus dari istilah kedua.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)
(a - b) 3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3
(a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
Contoh 2
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b3 - 15b2 + 75b - 125.
Ember trinomial
Ini berkembang dengan mengalikannya dengan kuadratnya. Ini adalah produk luar biasa yang sangat luas karena ada 3 istilah yang diangkat ke kubus, ditambah tiga kali setiap istilah kuadrat, dikalikan dengan masing-masing istilah, ditambah enam kali produk dari ketiga istilah tersebut. Terlihat dengan cara yang lebih baik:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.
Contoh 1
Latihan pemecahan produk luar biasa
Latihan 1
Kembangkan binomial berikut ke kubus: (4x - 6) 3.
Solusi
Mengingat bahwa binomial ke kubus sama dengan suku pertama yang diangkat ke kubus, dikurangi tiga kali lipat kuadrat dari suku pertama dengan yang kedua; ditambah triple dari suku pertama, pada kuadrat kedua, dikurangi kubus dari suku kedua.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.
Latihan 2
Kembangkan binomial berikut: (x + 3) (x + 8).
Solusi
Ada binomial di mana ada istilah umum, yaitu x dan suku kedua adalah positif. Untuk mengembangkannya, Anda hanya perlu menguadratkan istilah umum, ditambah jumlah istilah yang tidak umum (3 dan 8) dan kemudian mengalikannya dengan istilah umum, ditambah jumlah penggandaan istilah yang tidak umum.
(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.
