Segitiga sama sisi: karakteristik, sifat, rumus, dan luas
Segitiga sama sisi adalah poligon dengan tiga sisi, di mana semuanya sama; yaitu, mereka memiliki ukuran yang sama. Untuk karakteristik itu diberi nama sama sisi (sama sisi).
Segitiga adalah poligon yang dianggap paling sederhana dalam geometri, karena mereka dibentuk tiga sisi, tiga sudut dan tiga simpul. Dalam kasus segitiga sama sisi, karena memiliki sisi yang sama, itu menyiratkan bahwa tiga sudutnya juga akan sama.
Karakteristik segitiga sama sisi
Sisi yang sama
Segitiga sama sisi adalah angka datar dan tertutup, terdiri dari tiga segmen garis lurus. Segitiga diklasifikasikan berdasarkan karakteristiknya, sehubungan dengan sisi dan sudutnya; sama sisi diklasifikasikan menggunakan ukuran sisinya sebagai parameter, karena ini persis sama, yaitu, mereka kongruen.
Segitiga sama sisi adalah kasus khusus dari segitiga sama kaki karena dua sisinya kongruen. Itu sebabnya semua segitiga sama sisi juga sama kaki, tetapi tidak semua segitiga sama kaki akan sama sisi.
Dengan cara ini segitiga sama sisi memiliki sifat yang sama dari segitiga sama kaki.
Segitiga sama sisi juga dapat diklasifikasikan berdasarkan amplitudo sudut internal mereka sebagai segitiga sudut sama sisi, yang memiliki tiga sisi dan tiga sudut internal dengan ukuran yang sama. Sudut akan menjadi akut, yaitu kurang dari 90o.
Komponen
Segitiga pada umumnya memiliki beberapa garis dan titik yang menyusunnya. Mereka digunakan untuk menghitung luas, sisi, sudut, median, garis-bagi, tegak lurus dan tinggi.
- Median : adalah garis yang keluar dari titik tengah satu sisi dan mencapai titik yang berlawanan. Tiga median bertemu pada suatu titik yang disebut centroid atau centroid.
- Garis-bagi : adalah sinar yang membagi sudut simpul menjadi dua sudut dengan ukuran yang sama, sehingga dikenal sebagai sumbu simetri. Segitiga sama sisi memiliki tiga sumbu simetri.
Dalam segitiga sama sisi, garis bagi ditarik dari sudut sudut ke sisi yang berlawanan, memotongnya di titik tengahnya. Setuju ini disebut incentro.
- Garis - bagi tegak lurus adalah segmen tegak lurus ke sisi segitiga yang berasal di tengah-tengah ini. Ada tiga mediasi dalam segitiga dan mereka sepakat di titik yang disebut circuncentro.
- Ketinggian : adalah garis yang bergerak dari titik ke sisi yang berlawanan dan juga garis ini tegak lurus ke sisi itu. Semua segitiga memiliki tiga ketinggian yang bertepatan pada titik yang disebut orthocenter.
Properti
Properti utama dari segitiga sama sisi adalah bahwa mereka akan selalu menjadi segitiga sama kaki, karena sama kaki dibentuk oleh dua sisi kongruen dan yang sama sisi dengan tiga.
Dengan cara itu, segitiga sama sisi mewarisi semua properti dari segitiga sama kaki:
Angles internal
Jumlah sudut internal selalu sama dengan 180o, dan karena semua sudutnya kongruen, maka masing-masing sudutnya akan berukuran 60o.
Sudut Eksternal
Jumlah sudut eksternal akan selalu sama dengan 360o, oleh karena itu setiap sudut eksternal akan mengukur 120o. Ini karena sudut internal dan eksternal adalah pelengkap, yaitu, menambahkannya akan selalu sama dengan 180o.
Jumlah sisi
Jumlah langkah dua sisi harus selalu lebih besar dari ukuran sisi ketiga, yaitu, a + b> c, di mana a, b dan c adalah pengukuran masing-masing sisi.
Sisi kongruen
Segitiga sama sisi memiliki tiga sisi dengan ukuran atau panjang yang sama; yaitu, mereka sebangun dan sebangun. Oleh karena itu, pada item sebelumnya kita memiliki a = b = c.
Sudut kongruen
Segitiga sama sisi juga dikenal sebagai segitiga sama sisi, karena tiga sudut internal mereka saling kongruen. Ini karena semua sisinya juga memiliki ukuran yang sama.
Bisector, median, dan mediatrix adalah kebetulan
Garis bagi membagi sisi segitiga menjadi dua bagian. Dalam segitiga sama sisi yang sisi akan dibagi menjadi dua bagian yang sama persis, yaitu, segitiga akan dibagi menjadi dua segitiga siku-siku yang kongruen.
Jadi, garis-bagi yang ditarik dari sudut mana saja dari segitiga sama sisi bertepatan dengan median dan garis-bagi sisi yang berseberangan dengan sudut itu.
Contoh:
Gambar berikut menunjukkan segitiga ABC dengan titik tengah D yang membagi salah satu sisinya menjadi dua segmen AD dan BD.
Ketika Anda menggambar garis dari titik D ke titik yang berlawanan, menurut definisi Anda mendapatkan median CD, yang relatif terhadap titik C dan sisi AB.
Karena segmen CD membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga sama dengan CDB dan CDA, itu berarti bahwa kita akan memiliki kasus kongruensi: sisi, sudut, sisi dan oleh karena itu CD juga akan menjadi pengumpul BCD.
Ketika segmen CD digambar, sudut dhuwur dibagi menjadi dua sudut sama 30o, sudut dhuwur A terus mengukur 60o dan garis CD membentuk sudut 90o sehubungan dengan titik tengah D.
Segmen CD membentuk sudut yang memiliki pengukuran yang sama untuk segitiga ADC dan BDC, yaitu, mereka saling melengkapi sedemikian rupa sehingga pengukuran masing-masing akan:
Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180o
2 * Med. (ADC) = 180o
Med. (ADC) = 180o ÷ 2
Med. (ADC) = 90o.
Jadi, kami memiliki bahwa segmen CD juga merupakan garis bagi sisi AB.
Garis-bagi dan ketinggian adalah kebetulan
Saat Anda menggambar garis-bagi dari titik sudut ke titik tengah sisi yang berlawanan, garis itu membagi segitiga sama sisi menjadi dua segitiga kongruen.
Sedemikian rupa sehingga sudut 90o (lurus) terbentuk. Ini menunjukkan bahwa segmen garis ini benar-benar tegak lurus ke sisi itu, dan menurut definisi garis itu akan menjadi tinggi.
Dengan cara ini, garis bagi dari setiap sudut segitiga sama sisi bertepatan dengan ketinggian relatif pada sisi yang berlawanan dari sudut itu.
Orthocenter, barycenter, incenter dan circumcenter bersamaan
Karena tinggi, median, garis-bagi, dan garis-bawah diwakili pada saat yang sama oleh segmen yang sama, dalam segitiga sama sisi, titik-titik pertemuan dari segmen-segmen ini - orthocenter, barycenter, incenter dan circumcenter-, akan berada pada titik yang sama:
Bagaimana cara menghitung keliling?
Perimeter poligon dihitung dengan jumlah sisi. Karena dalam hal ini segitiga sama sisi memiliki semua sisinya dengan ukuran yang sama, perimeternya dihitung dengan rumus berikut:
P = 3 * sisi.
Bagaimana cara menghitung tinggi?
Karena ketinggian adalah garis yang tegak lurus terhadap alas, ia membaginya menjadi dua bagian yang sama dengan memperluas ke verteks yang berlawanan. Dengan demikian dua segitiga siku-siku sama terbentuk.
Tinggi (h) mewakili sisi yang berlawanan (a), setengah dari sisi AC ke sisi yang berdekatan (b) dan sisi BC mewakili sisi miring (c).
Menggunakan teorema Pythagoras, Anda dapat menentukan nilai ketinggian:
a 2 + b 2 = c 2
Dimana:
a2 = tinggi (h).
b2 = sisi b / 2.
c2 = sisi a.
Mengganti nilai-nilai ini dalam teorema Pythagoras, dan membersihkan ketinggian yang kita miliki:
h 2 + ( l / 2) 2 = l 2
h 2 + l 2/4 = l 2
h 2 = l 2 - l 2/4
h 2 = (4 * l 2 - l 2) / 4
h 2 = 3 * l 2/4
√ h 2 = √ (3 * l 2/4)
Jika sudut yang dibentuk oleh sisi kongruen diketahui, ketinggian (diwakili oleh kaki) dapat dihitung dengan menerapkan rasio trigonometri.
Kaki-kaki disebut berlawanan atau berdekatan tergantung pada sudut yang diambil sebagai referensi.
Misalnya, pada gambar sebelumnya, cathetus h akan berseberangan dengan sudut C, tetapi berbatasan dengan sudut B:
Dengan demikian, ketinggiannya dapat dihitung dengan:
Bagaimana cara menghitung sisi?
Ada kasus-kasus di mana pengukuran sisi-sisi segitiga tidak diketahui, tetapi tingginya dan sudut-sudut yang terbentuk dalam simpul.
Untuk menentukan area dalam kasus ini perlu untuk menerapkan rasio trigonometri.
Mengetahui sudut salah satu simpulnya, kaki diidentifikasi dan rasio trigonometri yang sesuai digunakan:
Dengan demikian, kaki AB, akan berseberangan dengan sudut C, tetapi berbatasan dengan sudut A. Tergantung pada sisi atau kaki yang sesuai dengan tinggi, sisi lain dibersihkan untuk mendapatkan nilai ini, mengetahui bahwa dalam segitiga sama sisi tiga pihak akan selalu memiliki ukuran yang sama.
Bagaimana cara menghitung luas?
Luas segitiga selalu dihitung dengan rumus yang sama, mengalikan alas dengan tinggi dan membaginya dengan dua:
Area = (b * h) ÷ 2
Mengetahui bahwa ketinggian diberikan oleh rumus:
Latihan
Latihan pertama
Sisi-sisi segitiga sama sisi ABC ukuran masing-masing 20 cm. Hitung tinggi dan luas poligon itu.
Solusi
Untuk menentukan luas segitiga sama sisi itu perlu untuk menghitung tinggi, mengetahui bahwa ketika menggambar itu, itu membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku yang sama.
Dengan cara itu teorema Pythagoras dapat digunakan untuk menemukannya:
a 2 + b 2 = c 2
Dimana:
a = 20/2 = 10 cm.
b = tinggi
c = 20 cm
Data dalam teorema diganti:
102 + b 2 = 202
100 cm + b 2 = 400 cm
b 2 = (400 - 100) cm
b 2 = 300cm
b = √300 cm
b = 17, 32 cm.
Artinya, ketinggian segitiga sama dengan 17, 32 cm. Sekarang dimungkinkan untuk menghitung luas segitiga yang diberikan dengan mengganti dalam rumus:
Area = (b * h) ÷ 2
Luas = (20 cm * 17, 32 cm) ÷ 2
Luas = 346, 40 cm2 ÷ 2
Luas = 173, 20 cm2.
Cara lain yang lebih sederhana untuk menyelesaikan latihan adalah dengan mengganti data dalam rumus langsung area tersebut, di mana nilai ketinggiannya juga secara implisit ditemukan:
Latihan kedua
Di tanah yang memiliki bentuk segitiga sama sisi, bunga akan ditanam. Jika perimeter tanah itu sama dengan 450 m, hitung jumlah meter persegi yang ditempati oleh bunga-bunga.
Solusi
Mengetahui bahwa perimeter segitiga sesuai dengan jumlah ketiga sisinya dan karena medan memiliki bentuk segitiga sama sisi, ketiga sisi segitiga ini akan memiliki ukuran atau panjang yang sama:
P = sisi + sisi + sisi = 3 * l
3 * l = 450 m.
l = 450 m ÷ 3
l = 150 m.
Sekarang hanya perlu menghitung ketinggian segitiga itu.
Ketinggian membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku yang kongruen, di mana salah satu kakinya mewakili tinggi dan separuh lainnya dari alas. Dengan teorema Pythagoras, ketinggian dapat ditentukan:
a 2 + b 2 = c 2
Dimana:
a = 150 m ÷ 2 = 75 m.
c = 150 m.
b = tinggi
Data dalam teorema diganti:
(75 m) 2 + b 2 = (150 m) 2
5, 625 m + b 2 = 22, 500 m
b 2 = 22.500 m - 5.625 m
b 2 = 16.875 m
b = √16.875 m
b = 129, 90 m.
Jadi area yang akan menempati bunga adalah:
Area = b * h ÷ 2
Luas = (150 m * 129.9 m) ÷ 2
Luas = (19.485 m2) ÷ 2
Luas = 9.742, 5 m2
Latihan ketiga
Segitiga sama sisi ABC dibagi dengan segmen garis yang bergerak dari verteks C ke titik tengah D, yang terletak di sisi yang berlawanan (AB). Segmen ini berukuran 62 meter. Hitung luas dan keliling segitiga sama sisi itu.
Solusi
Mengetahui bahwa segitiga sama sisi dibagi oleh segmen garis yang sesuai dengan ketinggian, membentuk dua segitiga siku-siku yang kongruen, ini pada gilirannya juga membagi sudut simpul C menjadi dua sudut dengan ukuran yang sama, masing-masing 30o.
Ketinggian membentuk sudut 90o sehubungan dengan segmen AB, dan sudut simpul A kemudian akan mengukur 60o.
Kemudian menggunakan sudut 30o sebagai referensi, tinggi CD diatur sebagai kaki yang berdekatan dengan sudut dan BC sebagai sisi miring.
Dari data ini nilai dari salah satu sisi segitiga dapat ditentukan, menggunakan rasio trigonometri:
Seperti dalam segitiga sama sisi semua sisi memiliki ukuran atau panjang yang sama persis, itu berarti bahwa setiap sisi segitiga sama sisi ABC sama dengan 71, 6 meter. Mengetahui hal itu, adalah mungkin untuk menentukan area Anda:
Area = b * h ÷ 2
Luas = (71, 6 m * 62 m) ÷ 2
Luas = 4.438, 6 m2 ÷ 2
Luas = 2.219, 3 m2
Perimeter diberikan oleh jumlah dari ketiga sisinya:
P = sisi + sisi + sisi = 3 * l
P = 3 * l
P = 3 * 71, 6 m
P = 214, 8 m.
