Diparalel paralel: karakteristik, jenis, luas, volume

Parallelepiped adalah benda geometris yang dibentuk oleh enam wajah, yang karakteristik utamanya adalah bahwa semua wajah mereka adalah jajaran genjang dan juga wajah-wajah mereka yang berlawanan sejajar satu sama lain. Ini adalah polyhedron umum dalam kehidupan kita sehari-hari, karena kita dapat menemukannya dalam kotak sepatu, bentuk batu bata, bentuk microwave, dll.

Menjadi polyhedron, paralelepiped membungkus volume yang terbatas dan semua wajahnya rata. Ini membentuk bagian dari kelompok prisma, yang merupakan polyhedra di mana semua simpulnya terkandung dalam dua bidang paralel.

Elemen-elemen paralelepiped

Wajah

Mereka adalah masing-masing daerah yang dibentuk oleh jajaran genjang yang membatasi jajaran genjang. Paralelipiped memiliki enam wajah, di mana setiap wajah memiliki empat wajah yang berdekatan dan satu berlawanan. Selain itu, setiap wajah sejajar dengan kebalikannya.

Tepi

Mereka adalah sisi umum dari dua wajah. Secara total, parallelepiped memiliki dua belas tepi.

Vertex

Ini adalah titik kesamaan dari tiga wajah yang berdekatan satu sama lain dua atau dua. Paralelipip memiliki delapan simpul.

Diagonal

Dengan dua sisi yang berlawanan dari sebuah parallelepiped, kita dapat menggambar segmen garis yang bergerak dari apeks satu wajah ke verteks yang berlawanan dari yang lain.

Segmen ini dikenal sebagai diagonal dari paralelepiped. Setiap paralelepiped memiliki empat diagonal.

Pusat kota

Ini adalah titik di mana semua diagonal bersilangan.

Karakteristik paralelepiped

Seperti yang kami sebutkan, tubuh geometris ini memiliki dua belas tepi, enam wajah dan delapan simpul.

Dalam sebuah parallelepiped Anda dapat mengidentifikasi tiga set yang dibentuk oleh empat tepi, yang sejajar satu sama lain. Selain itu, tepi set ini juga memenuhi properti memiliki panjang yang sama.

Properti lain yang dimiliki oleh parallelepipeds adalah bahwa mereka cembung, yaitu, jika kita mengambil sepasang titik yang termasuk dalam interior parallelepiped, segmen yang ditentukan oleh pasangan poin tersebut juga akan berada di dalam parallelepiped.

Selain itu, paralelepiped cembung polyhedra sesuai dengan teorema Euler untuk polyhedra, yang memberi kita hubungan antara jumlah wajah, jumlah tepi dan jumlah simpul. Hubungan ini diberikan dalam bentuk persamaan berikut:

C + V = A + 2

Karakteristik ini dikenal sebagai karakteristik Euler.

Di mana C adalah jumlah wajah, V jumlah simpul dan A jumlah tepi.

Jenis

Kami dapat mengklasifikasikan paralelepipeds berdasarkan wajah mereka, dalam jenis berikut:

Ortopedi

Mereka adalah paralelepipeds di mana wajah mereka dibentuk oleh enam persegi panjang. Setiap persegi panjang tegak lurus dengan yang dibagikan ujungnya. Mereka adalah yang paling umum dalam kehidupan sehari-hari kita dengan cara yang biasa seperti kotak sepatu dan batu bata.

Kubus atau heksahedron biasa

Ini adalah kasus khusus dari yang sebelumnya, di mana masing-masing wajah adalah kotak.

Kubus juga merupakan bagian dari benda-benda geometris yang disebut padatan platonis. Padatan platonik adalah polihedron cembung, sehingga wajah dan sudut internalnya sama satu sama lain.

Romboedro

Ini adalah paralelepiped dengan berlian di wajahnya. Berlian-berlian ini semuanya sama satu sama lain, karena mereka berbagi tepi.

Romboiedro

Keenam wajahnya adalah rhomboids. Ingat bahwa rhomboid adalah poligon dengan empat sisi dan empat sudut yang sama dua atau dua. Rhomboids adalah jajaran genjang yang tidak persegi, atau persegi panjang, atau rhombus.

Di sisi lain, parallelepiped miring adalah mereka di mana setidaknya satu ketinggian tidak setuju dengan ujungnya. Dalam klasifikasi ini kita dapat memasukkan rhombohedron dan rhombohedron.

Perhitungan diagonal

Untuk menghitung diagonal orthohedron kita dapat menggunakan Teorema Pythagoras untuk R3.

Ingatlah bahwa orthohedron memiliki karakteristik bahwa setiap sisi tegak lurus dengan sisi-sisi yang berbagi tepi. Dari fakta ini kita dapat menyimpulkan bahwa setiap sisi tegak lurus dengan yang berbagi titik.

Untuk menghitung panjang diagonal orthohedron kami melanjutkan sebagai berikut:

1. Kami menghitung diagonal salah satu wajah, yang akan kami pangkalan. Untuk ini kita menggunakan teorema Pythagoras. Beri nama diagonal ini d _b .

2. Kemudian dengan db kita dapat membentuk segitiga siku-siku baru, sehingga sisi miring dari segitiga itu adalah D diagonal yang dicari.

3. Kami menggunakan lagi teorema Pythagoras dan kami memiliki panjang diagonal tersebut adalah:

Cara lain untuk menghitung diagonal dengan cara yang lebih grafis adalah dengan penjumlahan vektor gratis.

Ingat bahwa dua vektor bebas A dan B ditambahkan dengan menempatkan ekor vektor B dengan ujung vektor A.

Vektor (A + B) adalah vektor yang dimulai pada ujung A dan berakhir di ujung B.

Pertimbangkan parallelepiped yang ingin kita hitung diagonal.

Kami mengidentifikasi tepi dengan vektor yang berorientasi dengan mudah.

Kemudian kita tambahkan vektor-vektor ini dan vektor yang dihasilkan akan menjadi diagonal dari paralelepiped.

Area

Luas paralelepiped diberikan oleh jumlah masing-masing bidang wajah mereka.

Jika kita menentukan salah satu sisi sebagai alas,

A _L + 2A _B = Total Area

Dimana A _L sama dengan jumlah area semua sisi yang berdekatan dengan basis, yang disebut area lateral dan A _B adalah area basis.

Bergantung pada jenis paralelepiped yang sedang kami kerjakan, kami dapat menulis ulang rumusnya.

Area orthohedron

Itu diberikan oleh formula

A = 2 (ab + bc + ca).

Contoh 1

Diberikan ortohedron berikut, dengan sisi a = 6 cm, b = 8 cm dan c = 10 cm, hitung luas paralelepiped dan panjang diagonalnya.

Kita harus menggunakan rumus untuk bidang orthohedron

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm2.

Perhatikan bahwa karena ini adalah ortohedron, panjang salah satu dari keempat diagonalnya adalah sama.

Menggunakan teorema Pythagoras untuk ruang kita harus

D = (62 + 82 + 102) 1/2 = (36 + 64 + 100) 1/2 = (200) 1/2

Luas kubus

Karena setiap tepi memiliki panjang yang sama, kami memiliki a = bya = c. Mengganti formula sebelumnya yang kita miliki

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a2) = 6a2

A = 6a2

Contoh 2

Kotak konsol game berbentuk kubus. Jika kita ingin membungkus kotak ini dengan kertas kado, berapa banyak kertas yang akan kita habiskan dengan mengetahui bahwa panjang tepi kubus adalah 45 cm?

Dengan menggunakan rumus area kubus, kita memperolehnya

A = 6 (45 cm) 2 = 6 (2025 cm2) = 12150 cm2

Area rhombohedron

Karena semua wajah mereka sama, cukup untuk menghitung luas salah satu dari mereka dan mengalikannya dengan enam.

Kita dapat menghitung luas berlian menggunakan diagonal dengan rumus berikut

A _R = (Dd) / 2

Dengan menggunakan rumus ini, berarti luas total rhombohedron adalah

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Contoh 3

Wajah-wajah dari rhombohedron berikut ini dibentuk oleh belah ketupat yang diagonal adalah D = 7 cm dan d = 4 cm. Area Anda akan menjadi

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm2.

Area yang belah ketupat

Untuk menghitung luas rhombic kita harus menghitung luas rhomboids yang menyusunnya. Karena parallelepipeds mematuhi properti yang sisi-sisinya berlawanan memiliki area yang sama, kita dapat mengasosiasikan sisi-sisi itu dalam tiga pasangan.

Dengan cara ini kami memiliki area Anda akan

A _T = 2b ₁ jam ₁ + 2b ₂ jam ₂ + 2b ₃ jam ₃

Dimana b _i adalah basa yang dikaitkan dengan sisi dan h _i tingginya relatif sesuai dengan basa tersebut.

Contoh 4

Pertimbangkan paralelepiped berikut,

di mana sisi A dan sisi A '(sisi yang berlawanan) memiliki sebagai basis b = 10 dan untuk tinggi h = 6. Area yang ditandai akan memiliki nilai

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B dan B 'memiliki b = 4 dan h = 6, kalau begitu

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC dan C 'memiliki b = 10 dan h = 5, jadi

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Akhirnya area rhombohedron adalah

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume paralelepiped

Rumus yang memberi kita volume paralelepiped adalah produk dari area salah satu wajahnya dengan ketinggian yang sesuai dengan wajah itu.

V = A _C h _C

Tergantung pada jenis formula kata paralel yang dapat disederhanakan.

Jadi kita punya misalnya bahwa volume orthohedron akan diberikan oleh

V = abc.

Dimana a, b dan c mewakili panjang tepi orthohedron.

Dan dalam kasus tertentu dari kubus adalah

V = a3

Contoh 1

Ada tiga model berbeda untuk kotak cookie dan Anda ingin tahu di mana dari model ini Anda dapat menyimpan lebih banyak cookie, yaitu kotak mana yang memiliki volume lebih.

Yang pertama adalah kubus yang ujungnya memiliki panjang a = 10 cm

Volumenya akan menjadi V = 1000 cm3

Yang kedua memiliki tepi b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Dan karena itu volumenya adalah V = 765 cm3

Dan yang ketiga memiliki e = 9 cm, f = 9 cm dan g = 13 cm

Dan volumenya adalah V = 1053 cm3

Oleh karena itu, kotak dengan volume tertinggi adalah yang ketiga.

Metode lain untuk mendapatkan volume paralelepiped adalah dengan menggunakan aljabar vektor. Secara khusus, produk skalar tiga.

Salah satu interpretasi geometris yang memiliki produk skalar tiga adalah dari volume parallelepiped, yang ujung-ujungnya adalah tiga vektor yang berbagi titik yang sama sebagai titik awal.

Dengan cara ini jika kita memiliki paralelepiped dan kita ingin tahu volumenya, itu cukup untuk merepresentasikannya dalam sistem koordinat di R3 dengan mencocokkan salah satu simpulnya dengan titik asal.

Kemudian kami mewakili tepi yang setuju dengan titik asal dengan vektor seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Dan dengan cara ini kita memiliki bahwa volume kata paralel itu diberikan oleh

V = | AxB ∙ C |

Atau ekuivalen volume adalah penentu matriks 3 × 3, yang dibentuk oleh komponen-komponen vektor tepi.

Contoh 2

Dengan merepresentasikan parallelepiped berikut dalam R3 kita dapat melihat bahwa vektor yang menentukannya adalah sebagai berikut

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) dan w = (-0.25, -4, 4)

Menggunakan produk skalar tiga yang kami miliki

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0, 0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0, 0, - 15) ∙ (-0, 25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Dari sini kita menyimpulkan bahwa V = 60

Sekarang perhatikan parallelepiped berikut dalam R3 yang tepinya ditentukan oleh vektor

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) dan C = (3, 4, 4)

Menggunakan determinan memberi kita itu

Jadi kita memiliki bahwa volume kata paralel adalah 112.

Keduanya adalah cara yang setara untuk menghitung volume.

Paralel sempurna

Hal ini dikenal sebagai bata Euler (atau blok Euler) ke orthohedron yang memenuhi properti bahwa panjang tepi dan panjang diagonal masing-masing wajahnya adalah bilangan bulat.

Meskipun Euler bukan ilmuwan pertama yang mempelajari ortohedron yang memenuhi sifat itu, ia menemukan hasil yang menarik tentang mereka.

Bata Euler yang lebih kecil ditemukan oleh Paul Halcke dan panjang tepinya adalah a = 44, b = 117 dan c = 240.

Masalah terbuka dalam teori bilangan adalah sebagai berikut

Apakah ada ortohedron sempurna?

Saat ini, pertanyaan ini tidak dapat dijawab, karena tidak mungkin membuktikan bahwa badan-badan ini tidak ada, tetapi tidak ada yang ditemukan.

Apa yang telah ditunjukkan sejauh ini adalah bahwa parallelepipeds sempurna memang ada. Yang pertama ditemukan memiliki panjang tepiannya nilai 103, 106 dan 271.

Daftar pustaka

1. Guy, R. (1981). Masalah yang belum terpecahkan dalam teori bilangan. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometri Kemajuan
3. Leithold, L. (1992). PERHITUNGAN dengan Analytical Geometry. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Gambar teknik: Buku kegiatan 3 Baccalaureate ke-2. Tebar
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fisika Vol. 1. Meksiko: Kontinental.