Ruang vektor: dasar dan dimensi, aksioma, properti, contoh

Ruang vektor adalah himpunan non-kosong V = { u , v , w , ......}, yang elemennya adalah vektor. Bersama mereka, beberapa operasi penting dilakukan, di antaranya yang menonjol:

- Jumlahkan antara dua vektor u + v yang menghasilkan z, yang merupakan bagian dari himpunan V.

- Penggandaan bilangan real α dengan vektor v : α v yang memberikan vektor lain dan milik V.

Untuk menunjukkan vektor kita menggunakan huruf tebal ( v adalah vektor), dan untuk skalar atau angka huruf Yunani (α adalah angka).

Aksioma dan sifat

Untuk menjadi ruang vektor, delapan aksioma berikut harus dipenuhi:

1-Commutability: u + v = v + u

2-Transitivitas: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Keberadaan vektor nol 0 sehingga 0 + v = v

4-Keberadaan yang sebaliknya: kebalikan dari v adalah (- v ), karena v + (- v ) = 0

5-Distributivity produk sehubungan dengan jumlah vektor: α ( u + v ) = α u + α v

6-Distributivitas produk sehubungan dengan jumlah skalar: (α + β) v = α v + β v

7-Associativitas produk skalar: α (β v ) = (α β) v

8-Angka 1 adalah elemen netral karena: 1 v = v

Contoh ruang vektor

Contoh 1

Vektor dalam bidang (R²) adalah contoh ruang vektor. Vektor dalam bidang adalah objek geometris yang memiliki magnitudo dan arah. Ini diwakili oleh segmen berorientasi milik pesawat tersebut dan dengan ukuran yang sebanding dengan besarnya.

Jumlah dari dua vektor dalam bidang dapat didefinisikan sebagai operasi geometris dari terjemahan vektor kedua setelah yang pertama. Hasil penjumlahan adalah segmen berorientasi yang dimulai dari asal yang pertama dan mencapai ujung yang kedua.

Dalam gambar dapat dicatat bahwa jumlah dalam R² adalah komutatif.

Produk dari nomor α juga ditentukan oleh vektor. Jika angka positif, arah vektor asli dipertahankan dan ukurannya adalah α kali vektor asli. Jika angka negatif, alamatnya adalah kebalikannya, dan ukuran vektor yang dihasilkan adalah nilai absolut dari angka tersebut.

Vektor berlawanan dengan vektor sembarang v adalah - v = (- 1) v .

Vektor nol adalah titik di bidang R², dan angka nol untuk vektor menghasilkan vektor nol.

Semua yang dikatakan diilustrasikan dalam Gambar 2.

Contoh 2

Himpunan P dari semua polinomial derajat kurang dari atau sama dengan dua, termasuk derajat nol, membentuk himpunan yang memenuhi semua aksioma ruang vektor.

Biarkan polinomial P (x) = a x² + bx + c dan Q (x) = d x² + ex + f

Jumlah dari dua polinomial didefinisikan: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Jumlah polinomial yang termasuk dalam himpunan P adalah komutatif dan transitif.

Polinomial nol yang dimiliki oleh himpunan P adalah yang memiliki semua koefisiennya sama dengan nol:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Jumlah skalar α didefinisikan oleh polinomial seperti: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Polinomial kebalikan dari P (x) adalah -P (x) = (-1) P (x).

Dari semua penjelasan di atas, himpunan P dari semua polinomial dengan derajat kurang dari atau sama dengan dua, adalah ruang vektor.

Contoh 3

Himpunan M dari semua matriks m baris xn kolom yang elemen-elemennya bilangan real membentuk ruang vektor nyata, sehubungan dengan operasi penambahan matriks dan produk dari angka oleh matriks.

Contoh 4

Himpunan F fungsi kontinu dari variabel nyata, membentuk ruang vektor, karena dimungkinkan untuk menentukan jumlah dari dua fungsi, perkalian skalar dengan fungsi, fungsi nol dan fungsi simetris. Mereka juga memenuhi aksioma yang menjadi ciri ruang vektor.

Basis dan dimensi ruang vektor

Base

Dasar dari ruang vektor didefinisikan sebagai seperangkat vektor bebas linear sehingga setiap vektor dari ruang vektor dapat dihasilkan dari kombinasi linear dari mereka.

Menggabungkan linear dua atau lebih vektor adalah dengan mengalikan vektor dengan skalar dan kemudian menambahkannya secara vektor.

Sebagai contoh, dasar kanonik yang didefinisikan oleh vektor satuan (besarnya 1) i, j, k digunakan dalam ruang vektor tiga dimensi yang dibentuk oleh R³.

Di mana i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Ini adalah vektor Cartesian atau kanonik.

Setiap vektor V milik R³ ditulis sebagai V = a + b j + c k, yang merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor basis i, j, k . Skalar atau angka a, b, c dikenal sebagai komponen Kartesius dari V.

Juga dikatakan bahwa vektor-vektor dasar dari ruang vektor membentuk seperangkat generator dari ruang vektor.

Dimensi

Dimensi ruang vektor adalah bilangan kardinal dari basis vektor untuk ruang tersebut; yaitu, jumlah vektor yang membentuk basis kata.

Kardinal ini adalah jumlah maksimum vektor bebas linear dari ruang vektor tersebut, dan pada saat yang sama jumlah minimum vektor yang membentuk generator set ruang tersebut.

Basis ruang vektor tidak unik, tetapi semua basis ruang vektor yang sama memiliki dimensi yang sama.

Subruang vektor

Subruang vektor S dari ruang vektor V adalah subset dari V di mana operasi yang sama didefinisikan sebagai dalam V dan memenuhi semua aksioma ruang vektor. Oleh karena itu, ruang bagian S juga akan menjadi ruang vektor.

Contoh subruang vektor adalah vektor yang termasuk bidang XY. Subruang ini adalah himpunan bagian dari ruang vektor dimensionalitas yang lebih besar dari himpunan vektor yang termasuk ruang XYZ tiga dimensi.

Contoh lain dari vektor ruang bagian S1 dari ruang vektor S yang dibentuk oleh semua matriks 2 × 2 dengan elemen nyata adalah yang didefinisikan di bawah ini:

Alih-alih S2 didefinisikan di bawah ini, meskipun merupakan subset dari S, tidak membentuk subruang vektor:

Latihan yang diselesaikan

-Latihan 1

Biarkan vektor V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) dan V3 = (0, 0, 3) dalam R³.

a) Buktikan bahwa mereka bebas linear.

b) Buktikan bahwa mereka membentuk basis dalam R³, karena triple (x, y, z) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari V1, V2, V3.

c) Temukan komponen triple V = (-3, 5, 4) dalam basis V1, V2, V3 .

Solusi

Kriteria untuk menunjukkan independensi linier terdiri dalam menetapkan seperangkat persamaan berikut dalam α, β dan γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Jika satu-satunya solusi untuk sistem ini adalah α = β = γ = 0 maka vektor-vektor itu bebas linear, jika tidak mereka tidak.

Untuk mendapatkan nilai α, β, dan γ kami mengusulkan sistem persamaan berikut:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Yang pertama mengarah ke α = 0, α kedua = -2 ∙ β tetapi sebagai α = 0 lalu β = 0. Persamaan ketiga menyiratkan bahwa γ = (- 1/3) β, tetapi sebagai β = 0 maka γ = 0.

Jawab untuk

Dapat disimpulkan bahwa itu adalah satu set vektor bebas linear dalam R³.

Jawaban b

Sekarang mari kita menulis triple (x, y, z) sebagai kombinasi linear dari V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Di mana Anda memiliki:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Yang pertama menunjukkan α = x, yang kedua β = (yx) / 2 dan yang ketiga γ = (z- dan / 2 + x / 2) / 3. Dengan cara ini kami telah menemukan generator α, β dan γ dari setiap triple R³

Jawaban c

Mari kita cari komponen triple V = (-3, 5, 4) pada basis V1, V2, V3 .

Kami mengganti nilai yang sesuai dalam ekspresi yang ditemukan sebelumnya untuk generator.

Dalam hal ini kita memiliki: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Yaitu:

(-3, 5, 4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Akhirnya:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Kami menyimpulkan bahwa V1, V2, V3 membentuk dasar dalam ruang vektor R³ dari dimensi 3.

- Latihan 2

Nyatakan polinomial P (t) = t² + 4t -3 sebagai kombinasi linear dari P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t dan P3 (t) = t + 3.

Solusi

P (t) = x P1 (t) + dan P2 (t) + z P3 (t)

di mana angka x, y, z harus ditentukan.

Dengan mengalikan dan mengelompokkan istilah dengan tingkat yang sama di t Anda dapatkan:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Yang membawa kita ke sistem persamaan berikut:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Solusi dari sistem persamaan ini adalah:

x = -3, y = 2, z = 4.

Yaitu:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

- Latihan 3

Tunjukkan bahwa vektor v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) dan v3 = (2, 1, -1, 1) dari R⁴ adalah bebas linear.

Solusi

Kami secara linear menggabungkan tiga vektor v1, v2, v3 dan menuntut bahwa kombinasi tersebut menambahkan elemen nol R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Maksud saya,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Ini membawa kita ke sistem persamaan berikut:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Mengurangkan yang pertama dan keempat yang kita miliki: -a + c = 0 apa yang menyiratkan a = c.

Tetapi jika Anda melihat persamaan ketiga, kita memiliki = -c. Satu-satunya cara untuk mencapai a = c = (- c) adalah bahwa c adalah 0 dan karena itu a juga akan menjadi 0.

a = c = 0

Jika kita mengganti hasil ini dalam persamaan pertama maka kita menyimpulkan bahwa b = 0.

Akhirnya a = b = c = 0, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa vektor v1, v2 dan v3 bebas linear.