Teorema Moivre: Apa Itu Terdiri, Peragaan dan Latihan

Teorema Moivre menerapkan proses dasar aljabar, seperti kekuatan dan ekstraksi akar dalam bilangan kompleks. Teorema ini diucapkan oleh ahli matematika Prancis terkenal Abraham de Moivre (1730), yang mengaitkan bilangan kompleks dengan trigonometri.

Abraham Moivre membuat hubungan ini melalui ekspresi payudara dan cosinus. Matematikawan ini menghasilkan semacam rumus yang memungkinkan untuk menaikkan bilangan kompleks pada kekuatan n, yang merupakan bilangan bulat positif lebih besar atau sama dengan 1.

Apa teorema Moivre?

Teorema Moivre menyatakan sebagai berikut:

Jika kita memiliki bilangan kompleks dalam bentuk polar z = r _Ɵ, di mana r adalah modul bilangan kompleks z, dan sudut Ɵ disebut amplitudo atau argumen dari bilangan kompleks apa pun dengan 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, untuk menghitung n- Kekuatan ini tidak perlu untuk melipatgandakannya dengan sendirinya kali-n; artinya, tidak perlu membuat produk berikut:

Zn = z _* z _* z _*. _. _{. *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *.} _. _{. *} r-n-kali.

Sebaliknya, teorema mengatakan bahwa ketika menulis z dalam bentuk trigonometriknya, untuk menghitung kekuatan n, kita melanjutkan sebagai berikut:

Jika z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) maka zn = rn (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Misalnya, jika n = 2, maka z2 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Jika Anda memiliki n = 3, maka z3 = z2 _* z. Selain itu:

z3 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r3 [cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Dengan cara ini, rasio trigonometrik dari sinus dan kosinus dapat diperoleh untuk kelipatan sudut, selama rasio trigonometri sudut diketahui.

Dengan cara yang sama dapat digunakan untuk menemukan ekspresi yang lebih tepat dan kurang membingungkan untuk akar ke-n dari bilangan kompleks z, sehingga zn = 1.

Untuk menunjukkan teorema Moivre, prinsip induksi matematika digunakan: jika bilangan bulat "a" memiliki properti "P", dan jika untuk seluruh bilangan "n" lebih besar dari "a" dengan properti "P" itu adalah memenuhi bahwa n +1 juga memiliki properti "P", sehingga semua bilangan bulat lebih besar dari atau sama dengan "a" memiliki properti "P".

Demonstrasi

Dengan cara ini, pembuktian teorema dilakukan dengan langkah-langkah berikut:

Basis induktif

Pemeriksaan pertama untuk n = 1.

Karena z1 = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) 1 = r1 (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) 1 = r1 [cos (1 _* Ɵ) + i _* sin (1 _* Ɵ)], kami memiliki bahwa untuk n = 1 teorema terpenuhi.

Hipotesis induktif

Diasumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk beberapa bilangan bulat positif, yaitu, n = k.

zk = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) k = rk (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Memeriksa

Itu terbukti benar untuk n = k + 1.

Karena zk + 1 = zk _* z, maka zk + 1 = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) k + 1 = rk (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* sinƟ) .

Kemudian ekspresi berlipat ganda:

zk + 1 = rk + 1 ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* sinƟ )).

Untuk sesaat faktor rk + 1 diabaikan, dan faktor umum i diekstraksi:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i2 (sin kƟ) _* (sinƟ).

Saat i2 = -1, kami menggantinya dalam ekspresi dan kami mendapatkan:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Sekarang bagian nyata dan imajiner dipesan:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i [(sin kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (sinƟ)].

Untuk menyederhanakan ekspresi, identitas trigonometri dari jumlah sudut untuk cosinus dan sinus diterapkan, yaitu:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* dosa B.

sin (A + B) = dosa A _* cos B - cos A _* cos B.

Dalam hal ini, variabelnya adalah sudut Ɵ dan kƟ. Menerapkan identitas trigonometri, kami memiliki:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = dosa (kƟ + Ɵ)

Dengan cara ini, ekspresi tetap:

zk + 1 = rk + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

zk + 1 = rk + 1 (cos [(k +1) Ɵ] + i _* sin [(k +1) Ɵ]).

Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa hasilnya benar untuk n = k + 1. Dengan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa hasilnya benar untuk semua bilangan bulat positif; yaitu, n ≥ 1.

Bilangan bulat negatif

Teorema Moivre juga diterapkan ketika n ≤ 0. Pertimbangkan bilangan bulat negatif «n»; maka "n" dapat ditulis sebagai "-m", yaitu, n = -m, di mana "m" adalah bilangan bulat positif. Oleh karena itu:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) -m

Untuk mendapatkan eksponen «m» secara positif, ekspresi ditulis terbalik:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Sekarang, digunakan bahwa jika z = a + b * i adalah bilangan kompleks, maka 1 ÷ z = ab * i. Oleh karena itu:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Menggunakan cos (x) = cos (-x) dan itu -sen (x) = sin (-x), kita harus:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = [cos (mƟ) - i _* sin (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Dengan cara itu, dapat dikatakan bahwa teorema berlaku untuk semua nilai integer "n".

Latihan yang diselesaikan

Perhitungan kekuatan positif

Salah satu operasi dengan bilangan kompleks dalam bentuk kutubnya adalah penggandaan antara keduanya; dalam hal itu modul-modul dikalikan dan argumen ditambahkan.

Jika Anda memiliki dua bilangan kompleks z _{1 dan} z ₂ dan Anda ingin menghitung (z ₁ * z ₂ ) 2, maka lakukan sebagai berikut:

z ₁ z ₂ = [r ₁ (cos Ɵ ₁ + i _* sin Ɵ ₁ )] * [r ₂ (cos Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ ₂ )]

Properti distributif diterapkan:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i2 _* dosa Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ) .

Mereka dikelompokkan, menggunakan istilah "i" sebagai faktor umum ekspresi:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} dosa Ɵ ₂ + dosa Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ ) + i2 _* dosa Ɵ _{1 *} dosa Ɵ ₂ ]

Seperti i2 = -1, itu diganti dalam ekspresi:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} dosa Ɵ ₂ + dosa Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ ) - dosa Ɵ _{1 *} dosa Ɵ ₂ ]

Istilah nyata dikelompokkan ulang dengan nyata, dan imajiner dengan imajiner:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [(cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ - dosa Ɵ _{1 *} dosa Ɵ ₂ ) + i (cos Ɵ _{1 *} dosa Ɵ ₂ + dosa Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ )]

Akhirnya, sifat trigonometri diterapkan:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )].

Kesimpulannya:

(z ₁ * z ₂ ) 2 = (r ₁ r ₂ [cos (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )]) 2

= r ₁ 2r ₂ 2 [cos 2 * (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin 2 * (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )].

Latihan 1

Tuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub jika z = - 2 -2i. Kemudian, menggunakan teorema Moivre, hitung z4.

Solusi

Bilangan kompleks z = -2 -2i diekspresikan dalam bentuk persegi panjang z = a + bi, di mana:

a = -2.

b = -2

Mengetahui bahwa bentuk kutub adalah z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), kita perlu menentukan nilai modul «r» dan nilai argumen «Ɵ». Sebagai r = √ (a² + b²), nilai yang diberikan diganti:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Kemudian, untuk menentukan nilai «Ɵ», bentuk persegi panjang ini diterapkan, yang diberikan oleh rumus:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Karena tan (Ɵ) = 1 dan Anda memilikinya <0, maka Anda harus:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Karena nilai "r" dan "Ɵ" sudah diperoleh, bilangan kompleks z = -2 -2i dapat diekspresikan dalam bentuk kutub dengan mensubstitusi nilai:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Sekarang teorema Moivre digunakan untuk menghitung z4:

z4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) 4

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Latihan 2

Temukan produk bilangan kompleks dengan mengungkapkannya dalam bentuk kutubnya:

z1 = 4 (cos 50o + i _* sin 50o)

z2 = 7 (cos 100o + i _* sin 100o).

Kemudian, hitung (z1 * z2) ².

Solusi

Pertama produk dari angka yang diberikan terbentuk:

z ₁ z ₂ = [4 (cos 50o + i _* sin 50o)] * [7 (cos 100o + i _* sin 100o)]

Lalu, gandakan modul-modulnya menjadi satu, dan tambahkan argumen:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _* [cos (50o + 100o) + i _* sin (50o + 100o)]

Ekspresi disederhanakan:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o).

Akhirnya, teorema Moivre diterapkan:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o)) ² = 784 (cos 300o + (i _* sin 300o)).

Perhitungan kekuatan negatif

Untuk membagi dua bilangan kompleks z _{1 dan} z ₂ ke dalam bentuk kutubnya, modul dibagi dan argumen dikurangi. Dengan demikian, hasil bagi adalah z ₁ ÷ z ₂ dan dinyatakan sebagai berikut:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ ₁ - Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ - Ɵ ₂ )]).

Seperti pada kasus sebelumnya, jika Anda ingin menghitung (z1 ÷ z2) ³ pertama-tama pembagian dibuat dan kemudian teorema Moivre digunakan.