Apa itu Batas Trigonometrik? (dengan Latihan yang Diselesaikan)

Batas trigonometri adalah batas fungsi sehingga fungsi ini dibentuk oleh fungsi trigonometri.

Ada dua definisi yang harus diketahui untuk memahami bagaimana perhitungan batas trigonometri dilakukan.

Definisi-definisi ini adalah:

- Batas fungsi «f» ketika «x» cenderung ke «b»: itu terdiri dalam menghitung nilai yang mendekati f (x) sebagai «x» mendekati «b», tanpa mencapai «b» »

- Fungsi trigonometri: fungsi trigonometri adalah fungsi sinus, kosinus, dan garis singgung, dilambangkan dengan dosa (x), cos (x) dan tan (x) masing-masing.

Fungsi trigonometri lainnya diperoleh dari tiga fungsi yang disebutkan di atas.

Batas fungsi

Untuk mengklarifikasi konsep batas fungsi akan dilanjutkan untuk menampilkan beberapa contoh dengan fungsi sederhana.

- Batas f (x) = 3 ketika «x» cenderung ke «8» sama dengan «3», karena fungsi selalu konstan. Tidak peduli berapa banyak nilai "x", nilai f (x) akan selalu menjadi "3".

- Batas f (x) = x-2 ketika «x» cenderung ke «6» adalah «4». Karena ketika «x» mendekati «6» maka «x-2» mendekati «6-2 = 4».

- Batas g (x) = x² ketika «x» cenderung ke «3» sama dengan 9, karena ketika «x» mendekati «3» maka «x²» mendekati «3² = 9» .

Seperti yang dapat dilihat dalam contoh sebelumnya, menghitung batas terdiri dari mengevaluasi nilai yang cenderung "x" dalam fungsi, dan hasilnya akan menjadi nilai batas, meskipun ini hanya berlaku untuk fungsi kontinu.

Apakah ada batasan yang lebih rumit?

Jawabannya adalah ya. Contoh di atas adalah contoh batas yang paling sederhana. Dalam buku perhitungan, latihan batas utama adalah latihan yang menghasilkan penentuan tipe 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 dan (∞) ^ 0.

Ungkapan-ungkapan ini disebut tak tentu karena mereka adalah ekspresi yang secara matematis tidak memiliki makna.

Selain itu, tergantung pada fungsi yang terlibat dalam batas asli, hasil yang diperoleh dalam menyelesaikan ketidakpastian dapat berbeda dalam setiap kasus.

Contoh batas trigonometri sederhana

Untuk mengatasi batasan, selalu sangat berguna untuk mengetahui grafik dari fungsi yang terlibat. Grafik dari fungsi sinus, cosinus dan garis singgung ditunjukkan di bawah ini.

Beberapa contoh batas trigonometri sederhana adalah:

- Hitung batas dosa (x) ketika «x» cenderung «0».

Ketika Anda melihat grafik Anda dapat melihat bahwa jika «x» mendekati «0» (baik di kiri dan di kanan), maka grafik sinus juga mendekati «0». Oleh karena itu, batas dosa (x) ketika «x» cenderung ke «0» adalah «0».

- Hitung batas cos (x) ketika «x» cenderung ke «0».

Mengamati grafik cosinus, dapat dilihat bahwa ketika "x" dekat dengan "0" maka grafik cosinus dekat dengan "1". Ini menyiratkan bahwa batas cos (x) ketika «x» cenderung ke «0» sama dengan «1».

Batas dapat ada (berupa angka), seperti dalam contoh sebelumnya, tetapi dapat juga terjadi bahwa batas itu tidak ada sebagaimana ditunjukkan dalam contoh berikut.

- Batas tan (x) ketika «x» cenderung «Π / 2» di sebelah kiri sama dengan «+ ∞», seperti yang dapat dilihat pada grafik. Di sisi lain, batas tan (x) ketika «x» cenderung «-Π / 2» di sebelah kanan sama dengan «-∞».

Identitas Batas Trigonometrik

Dua identitas yang sangat berguna ketika menghitung batas trigonometri adalah:

- Batas «sin (x) / x» ketika «x» cenderung ke «0» sama dengan «1».

- Batas «(1-cos (x)) / x» ketika «x» cenderung ke «0» sama dengan «0».

Identitas ini sangat sering digunakan ketika ada semacam ketidakpastian.

Latihan yang diselesaikan

Selesaikan batasan berikut dengan menggunakan identitas yang dijelaskan di atas.

- Hitung batas «f (x) = sin (3x) / x» ketika «x» cenderung ke «0».

Jika fungsi «f» dievaluasi dalam «0», indeterminasi tipe 0/0 akan diperoleh. Oleh karena itu, kita harus mencoba menyelesaikan ketidakpastian ini menggunakan identitas yang dijelaskan.

Satu-satunya perbedaan antara batas dan identitas ini adalah angka 3 yang muncul dalam fungsi sinus. Untuk menerapkan identitas, fungsi «f (x)» harus ditulis ulang sebagai berikut «3 * (sin (3x) / 3x)». Sekarang, baik argumen sinus dan penyebutnya sama.

Jadi ketika «x» cenderung ke «0», menggunakan hasil identitas «3 * 1 = 3». Oleh karena itu, batas f (x) ketika «x» cenderung ke «0» sama dengan «3».

- Hitung batas «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» ketika «x» cenderung ke «0».

Ketika "x = 0" diganti dalam g (x), penentuan jenis ∞-∞ diperoleh. Untuk mengatasinya, pecahan dikurangi, yang menghasilkan hasil «(1-cos (x)) / x».

Sekarang, ketika menerapkan identitas trigonometri kedua, kita memiliki batas g (x) ketika «x» cenderung ke «0» sama dengan 0.

- Hitung batas «h (x) = 4tan (5x) / 5x» saat «x» cenderung ke «0».

Sekali lagi, jika h (x) dievaluasi dalam «0», indeterminasi tipe 0/0 akan diperoleh.

Menulis ulang tan (5x) sebagai sin (5x) / cos (5x) menghasilkan h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Menggunakan batas 4 / cos (x) ketika «x» cenderung ke «0» sama dengan «4/1 = 4» dan identitas trigonometrik pertama kita dapatkan bahwa batas h (x) ketika «x» cenderung a «0» sama dengan «1 * 4 = 4».